一类素数相关多项式同余猜想：是否平凡、是否存在反例？

先把你提到的猜想明确一下，方便后续讨论：

对于所有多项式 $q\in\mathbb Z[X]$ 和所有 $n\in \mathbb N$，存在 $k\in\mathbb N$，使得 $q(p_n)\equiv q(-2k)\pmod{p_{n+1}}$，其中 $p_n$ 是第 $n$ 个素数。

下面分三个问题逐一解答：

1. 是否存在反例？ #

结论是不存在反例，我们可以从基础数论性质直接推导出来：
对于任意正整数n，$p_{n+1}$ 都是奇素数（第一个素数是2，第二个就是3，之后全是奇素数）。奇素数和2互素，这意味着-2在模 $p_{n+1}$ 的剩余类环里是可逆的——简单说，就是通过调整k的值，$-2k$ 模 $p_{n+1}$ 可以取到任何我们想要的剩余类。

我们直接让 $-2k \equiv p_n \pmod{p_{n+1}}$ 就行了，因为整数多项式有个基本性质：如果两个数模m同余，那多项式在这两个数上的取值也模m同余。只要找到满足这个同余式的自然数k（比如取t为足够大的整数，让 $k = \frac{t \cdot p_{n+1} - p_n}{2}$ 是正整数就行），就满足猜想的要求了。

2. 是否为已知猜想？ #

这个猜想并没有被收录为经典的数论猜想，更像是一个基于基础数论性质的观察。毕竟它的核心依赖的是模素数可逆元的性质和多项式同余的基本结论，这些都是数论入门级的知识点，可能因为结论太直接，所以没有被单独作为猜想提出来。

3. 是否具有平凡性？ #

没错，这个猜想本质上是平凡成立的。它的正确性完全依赖两个基础数论结论：

• 奇素数和2互素，所以-2是模该素数的可逆元，对应的线性映射能覆盖所有剩余类；
• 整数多项式在同余的自变量下，取值必然同余。

甚至我们可以直接构造出符合要求的k，不需要复杂的推导，所以这个结论并没有深刻的非平凡内涵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lehs