是否存在含1的开集U上的解析函数f满足指定离散点取值？

要证明不存在定义在包含1的开集$U$上的解析函数$f$满足$f(1-1/n)=-n$且$f(1+1/n)=n$，我们可以从解析函数的连续性入手，这是最直接的矛盾点：

• 解析函数的核心性质之一：如果$f$在开集$U$上解析，那么$f$在$U$的每一点都连续，包括点$1$。也就是说，对于任何收敛到$1$的点列${z_n} \subset U$，都有$\lim_{n \to \infty} f(z_n) = f(1)$，而$f(1)$必然是一个有限的复数（解析函数在定义域内的每一点都必须有有限函数值）。

现在看题目中的两个点列：

1. 点列${1 - 1/n}$：当$n \to \infty$时，这个点列收敛到$1$，且当$n$足够大时，所有点都在开集$U$内（因为$U$是包含1的开集，意味着1有一个邻域完全包含在$U$中）。根据条件，$f(1-1/n) = -n$，当$n \to \infty$时，$-n \to -\infty$，这和$\lim_{n \to \infty} f(1-1/n) = f(1)$（有限值）直接矛盾。
2. 同样，点列${1 + 1/n}$收敛到$1$，对应的$f(1+1/n)=n \to +\infty$，也和$f(1)$是有限值的结论矛盾。

补充：结合你提到的函数$z \mapsto \frac{-1}{1-z}$ #

你说的这个函数确实满足题目中的取值条件，但它在$z=1$处有一个极点（不是可去奇点），无法延拓成在包含1的开集上解析的函数——因为极点处函数值趋向于无穷，而解析函数在定义域内的点必须有有限值，这也从侧面印证了不存在满足条件的解析函数。

关于恒等定理为什么不适用 #

恒等定理要求两个解析函数在一个有聚点的点集上相等，才能推出它们在整个连通开集上相等。但这里$\frac{-1}{1-z}$在$z=1$处没有定义，无法和假设的$f(z)$在包含1的开集上构成“两个解析函数”，所以恒等定理无法直接应用，但我们通过连续性的矛盾已经足够完成证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PVincy