实方阵伴随向量的两种定义是否相互兼容？

嘿，我来帮你理清这两个定义的关系～首先我们把两个定义的数学逻辑拆解清楚，再看它们的兼容性：

先整理两个定义的数学表达式 #

• 定义一：已知$\lambda = e^{i\phi}$是$A$的特征值，$Y$是对应$\lambda$的特征向量（也就是满足$(A - \lambda I)Y = 0$），如果向量$Z$满足$AZ = \lambda Z + Y$，那么$Z$是$A$的伴随向量。把这个式子变形一下，就能得到：

  (A - λI)Z = Y
  

• 定义二：原文表述是“满足$(A-\lambda I)Y=Z$的$Z$为$A$的伴随向量”——这里大概率是变量名写反了（毕竟如果$Y$是特征向量的话，$(A-\lambda I)Y=0$，那$Z$就是零向量，这显然不是伴随向量该有的样子）。

兼容性结论 #

如果我们修正定义二的表述（补全前提+修正变量对应关系）：当$Y$是$A$对应特征值$\lambda$的特征向量时，满足$(A - \lambda I)Z = Y$的$Z$是$A$的伴随向量，那这个修正后的定义二和定义一完全等价，是同一个概念的两种表述方式，自然是兼容的。

但如果严格抠定义二的原文表述，它既没有明确$Y$是特征向量，还把变量的对应关系搞反了，那它不仅和定义一不兼容，甚至不符合我们对“伴随向量（广义特征向量）”的常规认知——因为伴随向量是依附于特征值和特征向量存在的，单独说满足$(A-\lambda I)Y=Z$的$Z$是伴随向量，逻辑上是不完整的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lo Scrondo