凸函数的等价表述：该凸性不等式的几何直观论证咨询

嘿，这个问题问到点子上了——这个凸函数的等价条件，背后藏着非常直观的几何意义，咱们用大白话拆解开来：

首先先把式子里面的点对应到几何位置上：

• 设x和y是函数定义域里的两个点，在函数图像上对应的点就是$(x, f(x))$和$(y, f(y))$。
• 式子中的$y+β(y-x)$（记为点z），其实是直线xy向y的外侧（远离x的方向）延伸出来的点：从x到y的向量是$y-x$，β是非负数，所以z就是从y出发，沿着这个向量再走β倍的长度得到的点。比如β=0时z=y，β=1时z就是y之后再走一段和xy等长的距离，以此类推。

接下来看不等式右边的$f(y) + β·(f(y)-f(x))$，咱们把它整理一下：
$$f(y) + β(f(y)-f(x)) = (1+β)f(y) - βf(x)$$
这其实就是连接$(x,f(x))$和$(y,f(y))$的直线，在点z处的函数值。不信的话可以推导一下直线的表达式：过这两个点的直线参数方程可以写成$L(t) = f(x) + t(f(y)-f(x))$，当t=1时对应y点；而z点对应的参数t=1+β，代入后正好得到上面的结果。

那这个不等式$f(z) ≥ L(z)$的几何意义就很明确了：

对于凸函数来说，不仅x和y之间的线段（也就是t∈[0,1]的部分）全部位于函数图像的下方（这是凸函数的标准几何定义），当你把这条线段向y的外侧无限延长时，延长出来的射线对应的直线部分，也始终在函数图像的下方——换句话说，函数图像在这条延长射线的上方“托着”这条直线。

举个具体的例子更清楚：比如$f(x)=x²$，取x=1，y=2，β=1，那么z=3。函数在z处的值是9，而直线在z处的值是$f(2)+1*(f(2)-f(1))=4+3=7$，显然9≥7。看图像的话，直线从(1,1)到(2,4)，延长到x=3时的点是(3,7)，而抛物线在x=3处的点是(3,9)，确实在直线上方。

反过来想，如果这个条件对任意x、y和符合要求的β都成立，那也能推出函数是凸的——毕竟当β取负数（对应x和y之间的点）时，反过来就能得到标准的凸函数不等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sachin garg