狄利克雷变体函数的局部极值点求解问询

先明确咱们讨论的函数：
$$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{当 } x\in \mathbb Q \ 0, & \text{当 } x\notin \mathbb Q \end{cases}$$

你已经认同该函数不存在局部极大值点，现在要确认「所有无理数点均为局部极小值点」这个结论是否正确，答案是完全正确，下面咱们一步步拆解验证：

一、所有无理数点都是局部极小值点 #

对于任意无理数 $x_0$，$f(x_0)=0$。根据局部极小值点的定义：存在一个 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$（$\delta>0$），使得对邻域内的所有 $x$，都有 $f(x) \geq f(x_0)$。

咱们来验证这个条件：

• 不管 $x$ 是有理数还是无理数，$f(x)$ 的取值要么是 $x^2$（非负），要么是 $0$，所以显然对任意 $x$，$f(x) \geq 0 = f(x_0)$；
• 我们可以任选一个 $\delta>0$（比如 $\delta=1$），在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 里必然存在有理数（有理数在实数中稠密），这些有理数点的函数值 $f(x)=x^2>0$，说明邻域内确实有函数值大于 $f(x_0)$ 的点，完全满足局部极小值点的定义（不需要邻域内所有点都比它大，只要没有比它更小的点即可）。

因此所有无理数点都是局部极小值点。

二、确实不存在局部极大值点 #

咱们用反证法来确认：假设存在某个点 $x_0$ 是局部极大值点，分两种情况讨论：

1. 若 $x_0$ 是有理数：
   • 若 $x_0 \neq 0$，则 $f(x_0)=x_0^2>0$。由于无理数在实数中稠密，$x_0$ 的任意邻域内都存在无理数，这些点的函数值为 $0 < x_0^2$，这和局部极大值点的定义（邻域内所有点的函数值都不超过 $f(x_0)$）矛盾；
   • 若 $x_0=0$（有理数），$f(x_0)=0$，但邻域内存在有理数点（比如 $\frac{1}{n}$，$n$ 为足够大的正整数），其函数值 $\left(\frac{1}{n}\right)^2>0$，同样存在函数值大于 $f(x_0)$ 的点，不满足局部极大的条件。
2. 若 $x_0$ 是无理数：
   • $f(x_0)=0$，而 $x_0$ 的任意邻域内都存在有理数，这些点的函数值 $x^2>0$，显然存在函数值大于 $f(x_0)$ 的点，不符合局部极大值点的定义。

综上，不存在任何局部极大值点，这和你的判断一致。

所以你朋友给出的结论完全正确：所有无理数点均为局部极小值点，且该函数不存在局部极大值点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zappa