求对称群$S_5$与交错群$A_5$中2阶置换的个数及方法验证

好的，咱们一步步拆解这个问题，先明确2阶置换的核心定义，再分别计算$S_5$和$A_5$里的对应个数，同时解答你的疑问。

置换的阶是它不相交轮换分解中各轮换长度的最小公倍数。要让这个最小公倍数是2，置换的轮换分解只能有两种形式：

• 单个长度为2的轮换（也就是对换），剩下的元素都是不动点；
• 两个不相交的长度为2的轮换（两个对换的乘积），剩下1个元素不动；
  （注：不可能有三个对换，因为3个对换需要6个元素，而$S_5$只有5个元素，直接排除这种情况）

我们分两种类型分别计算：

1. 单个对换类型
   你提到的形如$(1\ 2)$、$(1\ 3)$这类对换，个数确实是组合数$\binom{5}{2}$，计算下来是$\frac{5×4}{2}=10$个——这个结论完全正确！

2. 两个不相交对换的乘积类型
   这种置换的形式是$(a\ b)(c\ d)$（$a,b,c,d$是4个不同元素，第5个元素不动）。计算个数的逻辑是：

• 先从5个元素里选4个，有$\binom{5}{4}=5$种选法；
• 把选出的4个元素拆成两个不相交对换：比如选了1,2,3,4，能拆成的组合是$(1\ 2)(3\ 4)$、$(1\ 3)(2\ 4)$、$(1\ 4)(2\ 3)$，共3种。用公式算的话，先选第一个对换的2个元素有$\binom{4}{2}=6$种，但$(a\ b)(c\ d)$和$(c\ d)(a\ b)$是同一个置换，所以要除以2，得到$6÷2=3$种；
• 所以这类置换的总数是$5×3=15$个。

把两种类型加起来，$S_5$中2阶置换的总数是$10+15=25$个。

交错群$A_5$是$S_5$里所有偶置换的集合，置换的奇偶性看它分解成对换的个数：

• 单个对换是奇置换（1个对换，奇数个），所以不属于$A_5$；
• 两个不相交对换的乘积是偶置换（2个对换，偶数个），所以属于$A_5$。

因此，$A_5$中的2阶置换只有上述第二种类型，总数是15个。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user1942348