无单位元环的商环含单位元反例及环单位元命题咨询

一、无单位元但商环含单位元的环的反例 #

这里给你两个直观且经典的反例：

• 反例1：偶数环的商环
  取环 $R = 2\mathbb{Z}$（所有偶数构成的环，加法是整数加法，乘法是整数乘法），这个环没有单位元——你找不到任何偶数 $e$，能让所有偶数 $x$ 都满足 $e \cdot x = x$。
  取真理想 $I = 6\mathbb{Z}$（所有6的倍数构成的子集，显然是 $R$ 的理想）。
  商环 $R/I = 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$，它的元素是 ${[0], [2], [4]}$（其中 $[x]$ 表示 $x + 6\mathbb{Z}$）。
  验证一下：$[4] \cdot [2] = [8] = [2]$，$[4] \cdot [4] = [16] = [4]$，$[4] \cdot [0] = [0]$，完全满足单位元的定义——$[4]$ 就是这个商环的单位元。

• 反例2：直积构造的环
  取环 $R = \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}$（元素是整数和偶数的有序对，加法、乘法按分量进行）。这个环没有单位元：假设存在 $(e_1, e_2) \in R$ 是单位元，那么对任意 $(a, b) \in R$，都得有 $(e_1a, e_2b) = (a, b)$。对第一个分量来说，$e_1$ 必须是 $\mathbb{Z}$ 的单位元1，但第二个分量要求 $e_2b = b$ 对所有偶数 $b$ 成立，这需要 $e_2=1$，可1不属于 $2\mathbb{Z}$，矛盾，所以 $R$ 无单位元。
  取真理想 $I = {0} \times 2\mathbb{Z}$，商环 $R/I \cong \mathbb{Z}$，而 $\mathbb{Z}$ 是有单位元1的整环，完美符合要求。

二、命题真假判断与建议 #

命题a：若$R$无单位元，则$R/I$无单位元 #

这个命题是假命题，上面的反例1就直接推翻了它。你之前找不到反例可能是局限在一些简单环里，比如只考虑主理想整环的子环，但像偶数环这种非含幺环的商环很容易出现含幺的情况，不妨多从“整数环的子环”或者“直积环”这类结构入手构造例子。

命题b：若$R/I$无单位元，则$R$无单位元 #

你已经证明这个命题为真，这里补充个思路帮你巩固：如果 $R$ 有单位元 $1$，那么 $1 + I$ 就是 $R/I$ 的单位元（因为对任意 $r + I \in R/I$，$(1+I)(r+I) = r + I$）。它的逆否命题就是“若 $R/I$ 无单位元，则 $R$ 无单位元”，正好对应命题b，所以命题b必然成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhon Doe