概率问题咨询：已知A选中概率及AB同中概率，求B的最大选中概率

最近碰到这么一道概率题，当初解出来了，结果回头再琢磨的时候，反而冒出一堆疑问，今天就来拆解一下这道题的解法和背后的逻辑：

题目：A和B是两名申请某大学的候选人，$A$被选中的概率为0.5，$A$与$B$同时被选中的概率为0.3，求$B$被选中的最大概率？

常规解法思路 #

• 先定义核心概率变量：P(A)表示A被选中的概率，P(B)表示B被选中的概率，P(A∩B)表示两人同时被选中的概率。
• 根据概率的基本拆分规则，事件A发生的概率等于A单独被选中的概率加上A和B同时被选中的概率，也就是：
  P(A) = P(A - B) + P(A∩B)
• 代入已知数值：0.5 = P(A - B) + 0.3，由此算出P(A - B)（A单独被录取的概率）为0.2。
• P(B)可以拆分为P(B - A) + P(A∩B)，其中P(B - A)是B单独被录取的概率。要让P(B)最大，就要让P(B - A)取到最大值。
• 整个样本空间的总概率是1，已经被P(A - B)（0.2）和P(A∩B)（0.3）占去了0.5，剩下的0.5概率空间可以全部分配给P(B - A)（此时两人都不被录取的概率为0，这在概率规则里是完全允许的）。
• 最终算出P(B)的最大值为0.5 + 0.3 = 0.8。

另一种验证思路：用并集概率不等式 #

任意两个事件的并集概率满足P(A∪B) ≤ 1，而并集概率的计算公式是：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数值后：
0.5 + P(B) - 0.3 ≤ 1
化简后直接得到P(B) ≤ 0.8，和第一种解法的结果完全一致。

当初解完觉得没问题，但回头琢磨时会纠结：要不要考虑事件的独立性？但题目根本没提A和B的录取是独立事件，所以绝对不能随意假设。还有，P(B - A)真的能取到0.5吗？其实是可以的，概率里允许某个事件的概率为0（比如两人都不被录取的情况概率为0，这完全符合逻辑）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gowreesh mago