如何构造σ²的无偏估计？求常数c使指定统计量满足无偏性

我来一步步帮你理清这个问题的解法哈～

首先明确无偏估计的核心要求：我们需要让给定的统计量的期望恰好等于被估计的参数σ²，也就是要满足：

E[c((X₁−X₂)² + (X₃−X₄)² + (X₅−X₆)²)] = σ²

接下来我们就围绕这个等式推导常数c的值：

第一步：计算单个$(X_i - X_j)^2$的期望 #

你已经算出E[X_i - X_j] = 0，这里可以利用方差的定义简化计算：对于任意随机变量Y，有

E[Y²] = Var(Y) + (E[Y])²

因为E[X_i - X_j] = 0，所以E[(X_i - X_j)²] = Var(X_i - X_j)。

又因为$X_1,X_2,...,X_6$是随机样本，样本中的各个变量相互独立，因此协方差Cov(X_i,X_j)=0（i≠j）。代入方差的展开式：

Var(X_i - X_j) = Var(X_i) + Var(X_j) - 2Cov(X_i,X_j) = σ² + σ² - 0 = 2σ²

所以每个$(X_i - X_j)^2$的期望都是$2σ²$。

第二步：计算整个统计量的期望 #

三个平方项的期望之和为：

E[(X₁−X₂)²] + E[(X₃−X₄)²] + E[(X₅−X₆)²] = 2σ² + 2σ² + 2σ² = 6σ²

乘以常数c后，整个统计量的期望为：

E[c((X₁−X₂)² + (X₃−X₄)² + (X₅−X₆)²)] = c * 6σ²

第三步：求解常数c #

根据无偏估计的要求，令这个期望等于σ²：

c * 6σ² = σ²

两边同时除以σ²（σ²≠0），可以得到：

c = 1/6

验证结果 #

把c=1/6代入原统计量，其期望为(1/6)*6σ² = σ²，完全符合无偏估计的定义，所以这个常数c就是1/6。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eoin