环面非零微分形式相关拉回2-形式计算求专业验证

我最近在研究如何在环面上构造一个非零微分形式，受这个问题的启发，我试着通过球极投影的乘积来拉回2-形式 $dt\wedge ds \in \bigwedge^2(\Bbb R^2)$。不过我对自己的计算思路实在没什么把握，想请大家帮忙检查一下我的推导过程。

我定义了这样一个映射 $\phi:S^1\times S^1 \setminus {(0,1,0,1)} \rightarrow \Bbb R^2$，具体表达式为：
$$\phi(x,y,z,w) = \left(\frac{x}{1-y},\frac{z}{1-w}\right)$$

已知拉回算子 $\phi^$ 满足与外积、微分算子 $d$ 可交换的性质，基于这一点我开始计算拉回 $\phi^(dt\wedge ds)$，目前推导出的开头部分是：
$$\phi^(dt\wedge ds) = \phi^(dt) \wedge \phi^*(ds) = ...$$

（注：我原本的计算写到 $\phi^*(dt...$ 这里就中断了，希望能得到大家对现有步骤的验证，以及后续推导的建议）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者barmanthewise