商映射下连通分支开性的命题及证明技术问询

命题：设$f: X \to Y$为商映射。若$X$的连通分支是开集，则$Y$的连通分支也是开集。

证明过程 #

设$y \in Y$，记$C_y$为$Y$中包含$y$的连通分支。我们的目标是证明$C_y$是$Y$中的开集。

由于$f$是商映射，根据商映射的核心性质：*$Y$中的子集$U$是开集当且仅当原像$f^{{-1}(U)$是$X$中的开集*，所以我们只需要证得$f}{-1}(C_y)$是$X$的开集即可完成证明。

接下来我们要验证：$f^{-1}(C_y) = \bigcup{C_x \mid x \in f^{{-1}(C_y)}$——也就是$f}{-1}(C_y)$是$X$中所有满足$f(x) \in C_y$的点$x$对应的连通分支$C_x$的并集：

• 任取$C_x$（其中$x \in f^{-1}(C_y)$），因为$C_x$是$X$的连通子集，连续映射$f$会把连通集映射为连通集，所以$f(C_x)$是$Y$中的连通子集，且$f(x) \in C_y$。而$C_y$是$Y$中包含$f(x)$的最大连通子集，因此$f(C_x) \subseteq C_y$，即$C_x \subseteq f^{-1}(C_y)$。
• 反过来，任取$z \in f^{-1}(C_y)$，则$f(z) \in C_y$。$C_z$是$X$中包含$z$的连通分支，同理$f(C_z)$是$Y$中的连通子集且包含$f(z) \in C_y$，所以$f(C_z) \subseteq C_y$，即$C_z \subseteq f^{-1}(C_y)$。

题目中已给出条件：$X$的连通分支都是开集。而开集的任意并集仍然是开集，因此$\bigcup{C_x \mid x \in f^{{-1}(C_y)}$是$X$的开集，也就是$f}{-1}(C_y)$是开集。

结合商映射的性质，我们可以得出$C_y$是$Y$中的开集。由于$y$是$Y$中任意一点，因此$Y$的所有连通分支都是开集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bremen000