湖泊鱼类种群一阶常微分方程求解及渐近行为分析

Hey, let's tackle this fish population differential equation problem together—you were right to start with separation of variables, so let's walk through each part carefully.

a) 求解$N(t)$的表达式 #

首先，我们先把给定的常微分方程整理一下，方便分离变量：
$$\frac{dN}{dt} = \frac{aN}{b}(b - N)$$

步骤1：分离变量 #

把含$N$的项移到左边，含$t$的项移到右边：
$$\frac{dN}{N(b - N)} = \frac{a}{b}dt$$

步骤2：部分分式分解 #

左边的分式可以用部分分式拆分成更易积分的形式：
$$\frac{1}{N(b - N)} = \frac{1}{b}\left( \frac{1}{N} + \frac{1}{b - N} \right)$$
代入后方程变为：
$$\frac{1}{b}\left( \frac{1}{N} + \frac{1}{b - N} \right)dN = \frac{a}{b}dt$$
两边都乘以$b$消去分母，得到：
$$\left( \frac{1}{N} + \frac{1}{b - N} \right)dN = a dt$$

步骤3：积分两边 #

对左边从初始种群$N_0$到$N(t)$积分，右边从$0$到$t$积分：
$$\int_{N_0}^{N(t)} \left( \frac{1}{N} + \frac{1}{b - N} \right)dN = \int_{0}^{t} a dt$$

计算左边积分：
$$\left[ \ln|N| - \ln|b - N| \right]_{N_0}^{N(t)} = \ln\left( \frac{N(t)}{b - N(t)} \right) - \ln\left( \frac{N_0}{b - N_0} \right)$$
右边积分结果是$a t$，所以等式变为：
$$\ln\left( \frac{N(t)/(b - N(t))}{N_0/(b - N_0)} \right) = a t$$

步骤4：整理得到$N(t)$的表达式 #

把对数形式转化为指数形式：
$$\frac{N(t)/(b - N(t))}{N_0/(b - N_0)} = e^{a t}$$
解出$N(t)$：
$$\frac{N(t)}{b - N(t)} = \frac{N_0}{b - N_0} e^{a t}$$
交叉相乘后整理：
$$N(t)(b - N_0) = N_0(b - N(t))e^{a t}$$
$$N(t)b - N(t)N_0 = N_0 b e^{a t} - N_0 N(t)e^{a t}$$
把含$N(t)$的项移到左边：
$$N(t)b - N(t)N_0 + N_0 N(t)e^{a t} = N_0 b e^{a t}$$
提取$N(t)$：
$$N(t)\left[ b - N_0 + N_0 e^{a t} \right] = N_0 b e^{a t}$$
最终得到：
$$N(t) = \frac{b N_0 e^{a t}}{b - N_0 + N_0 e^{a t}}$$

或者我们可以把分子分母都除以$N_0 e^{a t}$，写成更简洁的逻辑斯蒂增长形式：
$$N(t) = \frac{b}{1 + \left( \frac{b - N_0}{N_0} \right)e^{-a t}}$$

b) 分析$t \to \infty$时$N(t)$的行为 #

我们分几种情况讨论：

• 当$0 < N_0 < b$时：$a$是正常数，所以当$t \to \infty$时，$e^{-a t} \to 0$，代入$N(t)$的表达式，得到$N(t) \to \frac{b}{1 + 0} = b$。
• 当$N_0 = b$时：代入原方程，$\frac{dN}{dt} = \frac{a b}{b}(b - b) = 0$，所以$N(t)$始终等于$b$，$t \to \infty$时依然是$b$。
• 当$N_0 > b$时：$\frac{b - N_0}{N_0}$是负数，但$e^{-a t} \to 0$，所以$\left( \frac{b - N_0}{N_0} \right)e^{-a t} \to 0$，因此$N(t) \to b$——这说明初始种群超过环境容纳量时，种群会逐渐下降到$b$。
• 当$N_0 = 0$时：$\frac{dN}{dt} = 0$，种群始终为0。

总结来说，无论初始种群$N_0$是多少（只要$N_0 \geq 0$），当$t \to \infty$时，$N(t)$都会趋近于$b$（除了$N_0=0$的极端情况），$b$就是这个湖泊的环境容纳量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yep