如何不借助无限线性序通用定理证明DLO不稳定？

我最近在琢磨怎么不调用无限线性序的通用定理来证明稠密线性序（DLO）的不稳定性，今天就聊聊我的尝试思路——不过先提前说，我现在已经确定这个思路走不通了。

先回顾DLO非ω-稳定的证明逻辑 #

要证DLO不是ω-稳定的，核心依据很明确：在有理数集ℚ上，1-型的数量至少和ℚ的**分割（cuts）**数量相当，而ℚ的分割总数是2^ℵ₀，这个数远大于ℵ₀，完全符合非ω-稳定的判定条件。

尝试推广到κ>ℵ₀的场景 #

我本来想把这个思路复制到基数κ>ℵ₀的情况，于是构造了一个模型：令M = κ×ℚ，给它赋予字典序，显然这是一个稠密线性序。接下来我想类比ℚ的分割思路，找M上对应的“分割”来关联1-型，但走着走着就发现问题了：

• 如果模仿ℚ的分割逻辑，固定κ中的某个元素α，只考虑形如(α, q)的元素构成的子集的分割，那这类分割的数量最多是2^{ℵ₀，当κ>ℵ₀时，这个数远小于2}κ，没法满足非κ-稳定所需的“1-型数量≥2^κ”的条件；
• 要是考虑跨基数段的分割，比如所有第一个分量小于α的元素，再加上第一个分量等于α且小于q的元素，这类分割的总数是κ×2^{ℵ₀，当κ>ℵ₀时，这个值等于κ，还是远小于2}κ，依然达不到要求。

折腾到这儿我就明白，这个推广思路行不通，M的结构特性限制了我们能找到的“分割”数量，没法对应足够多的1-型，也就没法用这个路子证明DLO在κ>ℵ₀时的不稳定性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者R. Harlow