请求化简方程$16\cos^6(t)+16\sin^6(t)+48\sin^2(t)\cos^2(t)$并证明其为标量

嘿，我来带你一步步拆解这个表达式，最终会发现它其实就是个固定的常数！咱们不用硬算，靠代数和三角恒等式就能轻松搞定：

• 第一步：提取公因子，简化前两项
  先把前两项的16提出来，表达式变成：
  $$16(\cos^6(t) + \sin^6(t)) + 48\sin^2(t)\cos2(t)$$
  注意到$\cos^6(t) = (\cos^2(t))3$，$\sin^6(t) = (\sin^2(t))3$，这刚好符合立方和公式：$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$。

• 第二步：用立方和公式展开
  令$a = \cos^2(t)$，$b = \sin^2(t)$，代入公式后：
  $$\cos^6(t) + \sin^6(t) = (\cos^2(t) + \sin^2(t))(\cos4(t) - \cos^2(t)\sin2(t) + \sin^4(t))$$
  别忘了核心三角恒等式$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$，所以这部分直接简化成：
  $$\cos^4(t) - \cos^2(t)\sin2(t) + \sin^4(t)$$

• 第三步：处理四次方项
  对于$\cos^4(t) + \sin^{4(t)$，咱们可以用平方和的变形：$(\cos}2(t) + \sin^2(t))2 = \cos^4(t) + 2\cos^2(t)\sin2(t) + \sin^4(t)$，移项后得到：
  $$\cos^4(t) + \sin^4(t) = 1 - 2\cos^2(t)\sin2(t)$$
  把这个代入之前的式子，就变成：
  $$(1 - 2\cos^2(t)\sin2(t)) - \cos^2(t)\sin2(t) = 1 - 3\cos^2(t)\sin2(t)$$

• 第四步：合并所有项
  把上面的结果代回最初提取公因子后的表达式：
  $$16(1 - 3\cos^2(t)\sin2(t)) + 48\sin^2(t)\cos2(t)$$
  展开后：
  $$16 - 48\cos^2(t)\sin2(t) + 48\cos^2(t)\sin2(t)$$
  这里的$-48\cos^2(t)\sin2(t)$和$+48\cos^2(t)\sin2(t)$刚好抵消，最后就剩下16！

所以这个表达式化简后就是标量值16，不管t取什么值，结果都不变~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者will smith