如何证明“零均值对称分布的总体MAD为分布的第75百分位数”？

嘿，这个问题其实只要把几个关键定义拆开来理清楚，就很容易搞定了！我一步步给你拆解：

先对齐核心定义 #

首先得把我们要用到的几个基础概念明确下来，避免混淆：

• 零均值对称分布：设随机变量为X，这个分布有两个核心性质：均值为0，且X与-X的概率分布完全相同（分布图像关于y轴对称）。同时，这类分布的中位数（median）必然是0——因为对称中心在0，一半概率在0左边，一半在右边。
• 总体MAD的定义：MAD的公式是 MAD = median(|X - median(X)|)。结合上面的结论（中位数为0），公式可以简化为 MAD = median(|X|)，也就是X绝对值的中位数。
• 第75百分位数：对于该分布，第75百分位数（记为Q₀.₇₅）满足 P(X ≤ Q₀.₇₅) = 0.75，即有75%的概率X的取值不超过这个数。

核心推导过程 #

我们的目标是证明：median(|X|) = Q₀.₇₅

1. 先从绝对值的中位数入手：
   对于连续型对称分布（离散型逻辑一致，只是概率边界略有不同），|X|的中位数m满足 P(|X| ≤ m) = 0.5——这是中位数的定义：恰好有50%的概率，|X|的取值不超过m。

2. 利用分布对称性展开概率：
   P(|X| ≤ m) 等价于 P(-m ≤ X ≤ m)（X落在-m到m之间）。
   因为分布对称，P(X ≤ -m) = P(X ≥ m)，而总概率为1，所以 P(X ≥ m) = 1 - P(X ≤ m)，即 P(X ≤ -m) = 1 - P(X ≤ m)。

3. 代入计算并推导：
   把上面的结论代入区间概率的计算：

   P(-m ≤ X ≤ m) = P(X ≤ m) - P(X ≤ -m)
   = P(X ≤ m) - (1 - P(X ≤ m))
   = 2P(X ≤ m) - 1
   

   我们已经知道这个概率等于0.5（因为m是|X|的中位数），所以：

   2P(X ≤ m) - 1 = 0.5
   2P(X ≤ m) = 1.5
   P(X ≤ m) = 0.75
   

4. 结论对应：
   这个m满足第75百分位数的定义（P(X ≤ m) = 0.75），所以m就是Q₀.₇₅。而m本身是|X|的中位数，也就是MAD，因此我们就证明了：对于零均值对称分布，总体MAD等于该分布的第75百分位数。

如果是离散型分布，只需要把概率的等于关系调整为≥（比如P(|X| ≤ m) ≥ 0.5且P(|X| ≥ m) ≥ 0.5），核心的对称推导逻辑依然成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user195689