证明度量空间中满足条件的函数序列在X上一致收敛

先把问题的前提和目标理清楚：

已知条件 #

• 给定度量空间$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$；
• 函数列$(f_n)_{n=m}^∞: X→Y$，以及目标函数$f: X→Y$；
• 存在实数序列$(r_n){n=m}^∞$，满足$\lim{n→∞} r_n = 0$，且对所有$x∈X$、$n≥m$，有$d_Y(f_n(x), f(x)) ≤ r_n$。

待证结论 #

当$n→∞$时，$f_n$在$X$上一致收敛于$f$。

证明过程 #

首先回忆一致收敛的核心定义：函数列$(f_n)$在$X$上一致收敛于$f$，等价于：

对任意$\epsilon > 0$，存在仅依赖于$\epsilon$的正整数$N$，使得对所有$x∈X$、所有$n > N$，都有$d_Y(f_n(x), f(x)) < \epsilon$。

现在咱们用已知条件来满足这个定义：

因为$\lim_{n→∞} r_n = 0$，根据数列极限的定义，对任意给定的$\epsilon > 0$，必然存在某个正整数$N$（这个$N$只由$\epsilon$决定，和$X$中的点$x$无关），当$n > N$时，有$r_n < \epsilon$。

而题目中已经给出，对所有$x∈X$和$n≥m$，都有$d_Y(f_n(x), f(x)) ≤ r_n$。那么当$n > N$时，结合上面的结论，就可以得到：
$$d_Y(f_n(x), f(x)) ≤ r_n < \epsilon$$
这里的关键是，$N$不依赖于$x$——它是由$r_n$的极限性质确定的，和$X$里的具体点没有关系，这正好满足一致收敛定义中“一致”的要求（区别于点态收敛中$N$可能依赖于$x$）。

由此，我们就证明了：当$n→∞$时，$f_n$在$X$上一致收敛于$f$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者thisisme