求方程$(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^{2}$的根类型及简便解法

这种高次方程最省心的解法是分组换元法，利用因式的对称性重新组合，把四次方程降为二次方程，具体步骤如下：

步骤1：重新分组左边的因式 #

观察左边四个一次因式，把首尾、中间两两配对：

$(x+2)(x+12)$ 和 $(x+3)(x+8)$

分别展开这两组：

• $(x+2)(x+12) = x^2 + 14x + 24$
• $(x+3)(x+8) = x^2 + 11x + 24$

此时原方程变为：
$$(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24) = 4x^2$$

步骤2：换元简化方程 #

设 $t = x^2 + 24$，代入上式后方程变为：
$$(t + 14x)(t + 11x) = 4x^2$$

展开左边并整理：
$$t^2 + 25xt + 154x^2 = 4x^2$$
$$t^2 + 25xt + 150x^2 = 0$$

步骤3：因式分解降次 #

把上式看作关于 $t$ 的二次方程，因式分解得：
$$(t + 10x)(t + 15x) = 0$$

步骤4：还原为二次方程并判断根类型 #

把 $t = x^2 + 24$ 代回，得到两个独立的二次方程：

第一个方程：$x^2 + 24 + 10x = 0$

整理为标准形式：$x^2 + 10x + 24 = 0$
计算判别式 $\Delta_1 = 10^2 - 4 \times 1 \times 24 = 100 - 96 = 4 > 0$
→ 两个不相等的实数根

第二个方程：$x^2 + 24 + 15x = 0$

整理为标准形式：$x^2 + 15x + 24 = 0$
计算判别式 $\Delta_2 = 15^2 - 4 \times 1 \times 24 = 225 - 96 = 129 > 0$
→ 两个不相等的实数根

结论 #

原四次方程共有4个不相等的实数根，均为实根（无虚根）。

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