无需数学归纳法证明：∀n∈ℤ，15∣4^(2n)-1

咱们来一步步推导这个结论，不用数学归纳法也能轻松搞定：

第一步：化简目标表达式 #

先把指数形式整理一下，4^{(2n)可以写成(4²)}n，也就是16ⁿ，所以原式等价于证明15能整除16ⁿ - 1。

第二步：举实例验证 #

• 当n=1时，16¹ - 1 = 15，显然15能被自身整除；
• 当n=2时，16² - 1 = 256 - 1 = 255，255 ÷ 15 = 17，确实能被15整除；
• 甚至n=0时，16⁰ - 1 = 1 - 1 = 0，0是任何非零整数的倍数，自然也满足条件。

第三步：用同余算术做通用证明 #

这是最关键的一步，利用同余的性质就能覆盖所有非负整数n（注：若n为负整数，4^(2n)为分数，整除概念通常针对整数，故这里聚焦非负整数范围）：
因为16除以15余1，也就是16 ≡ 1 mod 15，根据同余的幂运算性质，16ⁿ ≡ 1ⁿ mod 15，而1的任何次幂都是1，所以16ⁿ ≡ 1 mod 15。
两边同时减1，得到16ⁿ - 1 ≡ 0 mod 15，这就意味着16ⁿ - 1是15的倍数，也就是15∣4^(2n)-1。

补充：从质因数角度辅助理解 #

任意整数n都可以表示为质因数的乘积，我们知道只有2是偶质数，其他所有奇质数都能写成1 + 2k（k为正整数）的形式。比如n=5时，5=2²+1，而不管n是质数还是合数，是奇数还是偶数，通过上面的同余证明，我们已经确认了结论对所有非负整数n都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jitender