求使向量v₁=(x,1,2)、v₂=(1,x,2)、v₃=(1,2,x)线性相关的实数x

你的思路完全正确：n个n维向量线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为0。我来一步步帮你完成行列式计算和方程求解，应该能解决你遇到的问题。

第一步：构建系数矩阵 #

把三个向量作为列向量（行向量也可以，行列式结果一致）构成三阶矩阵：

[ x  1  1 ]
[ 1  x  2 ]
[ 2  2  x ]

第二步：计算行列式 #

三阶行列式的展开规则是：对于矩阵$\begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{bmatrix}$，行列式为$a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$。套用到我们的矩阵上：
$$
\begin{align*}
\det(A) &= x \cdot (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot x - 2 \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 2 - x \cdot 2) \
&= x(x^2 - 4) - (x - 4) + (2 - 2x) \
&= x^3 - 4x - x + 4 + 2 - 2x \
&= x^3 - 7x + 6
\end{align*}
$$

第三步：解方程$\det(A)=0$ #

我们需要解三次方程$x^3 -7x +6=0$，先通过试根法找有理根：

• 当$x=1$时，$1^3 -7\times1 +6=0$，所以$(x-1)$是多项式的一个因子。

用配方法完成因式分解：
$$
x^3 -7x +6 = (x-1)(x^2 +x -6)
$$
再对二次式分解：
$$
x^2 +x -6 = (x+3)(x-2)
$$
最终因式分解结果为：
$$
x^3 -7x +6 = (x-1)(x+3)(x-2)
$$

令行列式等于0，解得$x=1$、$x=2$或$x=-3$。

简单验证（可选） #

• 当$x=1$时，$v_1=(1,1,2)$、$v_2=(1,1,2)$、$v_3=(1,2,1)$，前两个向量完全相同，显然线性相关；
• 当$x=2$时，$v_1=(2,1,2)$、$v_2=(1,2,2)$、$v_3=(1,2,2)$，后两个向量相同，线性相关；
• 当$x=-3$时，$v_1=(-3,1,2)$、$v_2=(1,-3,2)$、$v_3=(1,2,-3)$，通过行变换可发现矩阵秩小于3，满足线性相关的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者oxodo