基于矩阵的三角形面积计算：展开式中(-1)的来源问询

你提到的这个(-1)，其实是去掉第一行第一列后得到的二阶行列式的计算结果，咱们一步步拆解清楚：

首先回忆三阶行列式按行展开的规则：对于三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$，按第一行展开的公式是：
$$a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}$$
这里的$M_{ij}$是余子式，指去掉第i行第j列后剩下的低一阶行列式；而$(-1)^{i+j}$是代数余子式的符号部分。

回到你的计算过程：

1. 第一个项是$1(-1)^{2\begin{vmatrix}2&1\3&1\end{vmatrix}$，其中$(-1)}2$是代数余子式的符号（因为i=1、j=1，所以$(-1)^{1+1}=1$），后面的二阶行列式就是余子式$M_{11}$。
2. 计算这个二阶行列式：$\begin{vmatrix}2&1\3&1\end{vmatrix} = 2\times1 - 3\times1 = 2 - 3 = -1$——这就是你看到的那个(-1)的来源！

简单总结：它不是来自符号项$(-1)^2$（这个结果是1），而是来自对应余子式的实际计算值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jinzu