共轭子群的交：证明K含于H且包含H中G的所有正规子群

关于你的群论证明疑问解答 #

嘿，我来帮你把这两个疑问拆解清楚：

1. 证明$K \subseteq H$的核心思路 #

你提到的“利用H是子群和任意g相乘”其实绕远路啦，更直接的逻辑是：

• K是所有共轭子群$gHg^{-1}$的交集，也就是$K = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$
• 当取$g=e$（G的单位元）时，$eHe^{-1} = H$（因为单位元的逆元还是自己，$eh e^{-1}=h$对所有$h \in H$成立）
• 交集的定义就是同时属于所有被交集合的元素集合，所以K必然是每个$gHg^{{-1}$的子集，自然也包含在$eHe}{-1}=H$里，直接得出$K \subseteq H$。
  完全不需要额外操作H中的元素和任意g相乘，抓住“单位元对应的共轭子群就是H本身”这个点就够了。

2. 证明K包含G中所有含于H的正规子群 #

假设N是G的一个正规子群，且满足$N \subseteq H$，我们要证$N \subseteq K$：

• 因为N是G的正规子群，根据正规子群的定义，对任意$g \in G$，都有$gNg^{-1} = N$（正规子群的共轭等于自身）
• 又因为$N \subseteq H$，群的共轭操作会保持集合的包含关系，所以$gNg^{-1} \subseteq gHg^{-1}$
• 结合上面的结论，就能得到$N = gNg^{-1} \subseteq gHg^{-1}$对所有$g \in G$都成立
• 而K是所有$gHg^{-1}$的交集，所以N必然包含在这个交集里，也就是$N \subseteq K$

这就说明，任何含于H的G的正规子群都包含在K中，结合K本身是含于H的正规子群，K其实就是G中含于H的最大正规子群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atvin