求指定最小/最大长度的字符组合数简化计算公式

嘿，这个问题其实用经典的等比数列求和就能轻松解决，再也不用写一长串的加法项了！

先明确问题本质 #

你这里的组合是允许字符重复的字符串（比如例子里的abcdd、dabca都有重复字符），对于字符总数为n（这里n=5）、长度为L的组合，每个位置都有n种选择，所以总组合数是n^L——这一点你已经找对了。

现在你需要计算的是从最小长度min_len（这里是2）到最大长度max_len（这里是5）的所有n^L之和，这本质上是一个等比数列的部分和，公比就是n。

简洁的通用公式 #

对于任意的字符总数n、最小长度min_len、最大长度max_len，总和可以用这个公式计算：

(n^(max_len + 1) - n^min_len) / (n - 1)

推导与验证 #

这个公式来自等比数列的求和推导：

• 首先，计算从长度1到max_len的所有组合数总和：
  S_total = n + n² + n³ + ... + n^max_len = (n^(max_len + 1) - n) / (n - 1)
• 然后，计算从长度1到min_len - 1的组合数总和：
  S_part = n + n² + ... + n^(min_len - 1) = (n^min_len - n) / (n - 1)
• 两者相减，就得到你需要的从min_len到max_len的总和：
  S = S_total - S_part = (n^(max_len + 1) - n^min_len) / (n - 1)

代入你的例子验证一下：
n=5，min_len=2，max_len=5

(5^(5+1) - 5^2) / (5-1) = (15625 - 25) / 4 = 15600 / 4 = 3900

和你原来计算的5²+5³+5⁴+5⁵=25+125+625+3125=3900完全一致！

额外情况 #

如果你的最小长度是1，公式就简化为(n^(max_len + 1) - n) / (n - 1)，也就是完整的等比数列求和，同样适用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Florian