收敛于0的序列是否必属于某一lₚ（p>1）？c₀⊂∪ₚ>₀lₚ是否成立？

嘿，这个问题其实有明确的答案——这个包含关系不成立，咱们直接构造一个反例就能把问题说清楚：

构造反例序列 #

考虑序列 ${a_n}_{n=1}^\infty$，其中每一项定义为：
$$a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$$

1. 验证它属于$c_0$

当 $n$ 趋向于无穷大时，$\log(n+1)$ 会无限增大，所以 $a_n = \frac{1}{\log(n+1)}$ 会趋向于0，完全符合$c_0$（所有收敛到0的序列构成的空间）的定义，所以这个序列肯定在$c_0$里。

2. 证明它不属于任何$l_p$（$p>1$）

对于任意给定的 $p>1$，我们只需要证明级数 $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\log(n+1))^p}$ 是发散的就行。

这里用积分判别法最方便：函数 $f(x) = \frac{1}{(\log(x+1))^p}$ 在 $x \geq 1$ 时是正的、单调递减的连续函数，所以级数的敛散性和积分 $\int_1^\infty f(x) dx$ 完全一致。

做个变量替换：令 $t = \log(x+1)$，那么 $x = e^t - 1$，$dx = e^t dt$。当 $x=1$ 时 $t=\log2$，$x$ 趋向无穷时 $t$ 也趋向无穷，积分就变成了：
$$\int_{\log2}^\infty \frac{e^t}{tp} dt$$

不管$p$取多大的正数，当$t$足够大的时候，指数函数$e^{t$的增长速度比任何多项式$t}p$都快得多，这个积分肯定是发散的。根据积分判别法，对应的级数也发散，这就说明这个序列不在任何$l_p$空间里（不管$p>1$取什么值）。

总结 #

我们找到了一个属于$c_0$但不在$\bigcup_{p>1} l_p$中的序列，所以原问题里的逆命题不成立，$c_0 \subset \bigcup_{p>1} l_p$这个包含关系是不成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者S. Pitchai Murugan