求函数x(1-t-x)的最大值点：推导(1-t)/2的过程咨询

嘿，这个问题其实用基础的二次函数性质或者微积分都能轻松推导出来，我给你拆解两种方法，你看哪种更顺手～

方法一：利用二次函数顶点公式 #

首先把原函数展开成标准的二次函数形式：

x(1-t-x) = -x² + (1-t)x

这是典型的 ax² + bx + c 结构，其中：

• a = -1（二次项系数为负，说明抛物线开口向下，顶点就是最大值点）
• b = 1-t（一次项系数）
• c = 0（常数项）

对于二次函数，顶点对应的x坐标公式是 x = -b/(2a)，把上面的系数代入进去：

x = -(1-t)/(2*(-1)) = (1-t)/2

刚好就是你书中提到的结论！拿你验证的例子来说，当t=0.5时，代入得(1-0.5)/2=0.25，和你实际验证的结果完全匹配，完美对应上啦。

方法二：微积分求导（适合学过导数的朋友） #

如果用微积分的思路，我们对原函数关于x求一阶导数：
原函数 $f(x) = x(1-t-x)$，根据乘积求导法则：

f’(x) = (1-t-x) + x*(-1) = 1 - t - 2x

函数的极值点出现在一阶导数为0的位置，令f’(x)=0，解这个方程：

1 - t - 2x = 0 → 2x = 1 - t → x = (1-t)/2

为了确认这个点是最大值点，我们可以求二阶导数：

f''(x) = -2

二阶导数小于0，说明这个临界点是极大值点，又因为原函数是开口向下的二次函数，整个定义域内只有这一个极值点，所以它就是最大值点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者idude