素数模下$a^2 \equiv 1 \pmod{p}$推$a \equiv \pm1 \pmod{p}$的求证及疑问

嘿，我来帮你梳理下这个证明的问题，以及正确的推导思路～

首先得说，你当前的证明是不严谨的，问题出在直接对同余式两边“开平方”这一步：在实数域里我们默认$\sqrt{a^2}=|a|$，但模$p$的同余体系中，“开平方”并不是一个可以直接套用的规则——你其实是在用「模$p$下平方等于1的数只有±1」这个结论，来证明它本身，属于循环论证啦。

正确的证明方法 #

核心思路是利用素数的整除性质，结合因式分解来推导：

1. 从已知条件出发：$a^2 \equiv 1 \pmod{p}$，移项可得：
   $$a^2 - 1 \equiv 0 \pmod{p}$$
2. 对左边因式分解，得到：
   $$(a - 1)(a + 1) \equiv 0 \pmod{p}$$
3. 因为$p$是素数，素数有个关键性质：若素数$p$整除两个整数的乘积，则$p$至少整除其中一个整数。也就是说：
   • 要么$p \mid (a - 1)$，对应$a \equiv 1 \pmod{p}$；
   • 要么$p \mid (a + 1)$，对应$a \equiv -1 \pmod{p}$。

这就严谨地推出了$a \equiv \pm 1 \pmod{p}$的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rose