如何证明任意自然数x下该实质条件命题的真值？

你的直觉完全正确，这个命题对所有自然数x都成立，下面用两种严谨的离散数学方法来证明：

方法一：直接推导法 #

首先明确命题中谓词的定义：

• P(x) 表示“x除以3无余数”，翻译成数学语言就是：存在非负整数k，使得x = 3k（因为x是自然数，k的取值范围是0,1,2,...）

接下来分情况讨论蕴含式的真值：

1. 当*P(x)为真时：
   根据定义，x可以表示为3k（k∈N∪{0}）。那么x+2 = 3k + 2。
   我们知道，一个数能被3整除当且仅当它可以写成3的整数倍的形式。而3k+2除以3的商是k，余数是2，显然无法表示为3的整数倍，因此P(x+2)为假，即¬P(x+2)为真。
   根据蕴含式的真值规则，当前件为真、后件也为真时，整个蕴含式P(x)→¬P(x+2)*为真。
2. 当*P(x)*为假时：
   根据蕴含式的真值规则，只要前件为假，无论后件真假，整个蕴含式都为真。

综上，对于任意自然数x，*P(x)→¬P(x+2)*都为真，因此全称命题∀x (P(x) → ¬P(x+2))的真值为真。

方法二：反证法 #

反证法的思路是假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题为真。

1. 假设原全称命题为假，那么存在某个自然数x，使得*P(x)→¬P(x+2)为假。
   根据蕴含式的真值表，蕴含式为假的唯一情况是：前件P(x)为真，且后件¬P(x+2)为假——也就是P(x)和P(x+2)*同时为真。
2. 由*P(x)为真，得x=3k（k∈N∪{0}）；由P(x+2)*为真，得x+2=3m（m∈N∪{0}）。
3. 将x=3k代入x+2=3m，得到：3k + 2 = 3m → 3(m - k) = 2 → m - k = 2/3。
4. 但m和k都是非负整数，它们的差必然是整数，不可能是分数2/3，这就产生了矛盾。

因此我们的假设不成立，不存在这样的x使得原蕴含式为假，所以全称命题∀x (P(x) → ¬P(x+2))为真。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sifu