非直角飞行的两架飞机间距最小时刻的求解问题

我完全理解你的困惑——直角飞行的情况用勾股定理就能轻松搞定，但碰到非直角的夹角时，确实需要换个思路。咱们用坐标系+二次函数求极值的方法来一步步拆解这个问题：

第一步：建立坐标系，确定t时刻两架飞机的位置 #

咱们先把初始位置简化成坐标点：

• 设向北飞行的飞机初始在坐标原点 $(0,0)$，它以550 mph的速度朝北飞，所以t小时后，它的位置是 $A(t) = (0, 550t)$
• 另一架向西南飞行的飞机初始在北边200英里处，也就是 $(0, 200)$。西南方向意味着它同时向西、向南飞行，速度可以拆成两个分量：
  • 向西（x轴负方向）：$600 \times \cos(45^\circ) = 300\sqrt{2}$ mph
  • 向南（y轴负方向）：$600 \times \sin(45^\circ) = 300\sqrt{2}$ mph
    所以t小时后，它的位置是 $B(t) = (-300\sqrt{2}t, 200 - 300\sqrt{2}t)$

第二步：计算距离平方的表达式（避开根号更简单） #

因为距离最小的时候，距离的平方也一定最小，所以咱们直接算距离平方 $D(t)$：
$$
D(t) = \left( x_B(t) - x_A(t) \right)^2 + \left( y_B(t) - y_A(t) \right)^2
$$

代入坐标展开并整理：
$$
\begin{align*}
D(t) &= (-300\sqrt{2}t - 0)^2 + \left( (200 - 300\sqrt{2}t) - 550t \right)^2 \
&= 180000t^2 + \left( 200 - t(550 + 300\sqrt{2}) \right)^2 \
&= \left(662500 + 330000\sqrt{2}\right)t^2 + \left(-220000 - 120000\sqrt{2}\right)t + 40000
\end{align*}
$$

第三步：求二次函数的最小值点 #

这是一个开口向上的二次函数（t²的系数为正），最小值出现在顶点位置，顶点对应的t值为：
$$
t = -\frac{b}{2a}
$$

代入a和b的系数计算：
$$
t = \frac{220000 + 120000\sqrt{2}}{2 \times (662500 + 330000\sqrt{2})}
$$

化简后得到近似值：
$$
t \approx 0.1726 \text{小时} \approx 10.36 \text{分钟}
$$

补充说明 #

你提到的取值范围$[0,200]$是初始距离，而时间的有效范围是$t \geq 0$，咱们算出的最小值点在这个范围内，是完全有效的。这个结果也符合直觉：初始时两架飞机相距200英里，随着时间推移，向北飞的飞机靠近另一架的初始位置，向西南飞的飞机向西南移动，两者距离先减小到最小值，之后再逐渐增大。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user147485