关于$\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]$及直极限环$R$的素元与参考文献问询

问题2：环$R$是$\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]\hookrightarrow\mathbb{Z}[\sqrt{-2},\sqrt{-3}]\hookrightarrow\mathbb{Z}[\sqrt{-2},\sqrt{-3},\sqrt{-5}]\hookrightarrow\dotsm$的直极限，求$R$的素元集合，并提供可引用参考文献 #

素元集合结论 #

$R$中不存在素元，即素元集合为空集。

证明思路 #

1. 环$R$的结构：$R$是所有形如$f(\sqrt{-p_1},\sqrt{-p_2},\dots,\sqrt{-p_n})$的元素构成的环，其中$f$是整系数多项式，$p_1,\dots,p_n$是任意有限个素数。$R$的单位只有$\pm1$（每个子环的单位都是$\pm1$，直极限继承这一性质）。
2. 任意非零非单位元都不是素元：
   设$\pi \in R$是任意非零非单位元，则$\pi$属于某个子环$\mathbb{Z}[\sqrt{-p_1},\dots,\sqrt{-p_n}]$。取一个不在${p_1,\dots,p_n}$中的素数$q$，则$\sqrt{-q} \in R$，且$q=(\sqrt{-q})(-\sqrt{-q})$。
   由于$\pi$的范数（在其所在的数域中）是一个大于1的整数，且$q$是素数，$\pi$的范数整除$q$当且仅当范数为$q$，但此时$\pi$属于$\mathbb{Z}[\sqrt{-p_1},\dots,\sqrt{-p_n}]$，而$\sqrt{-q}$不在该子环中，故$\pi$与$\sqrt{-q}$不相伴。
   同时，$\pi \mid q$（因为$\pi$的范数整除$q$，在数域中$\pi$整除$q$），但$\pi$不整除$\sqrt{-q}$或$-\sqrt{-q}$（否则$\sqrt{-q}=\pi \cdot y$，$y$的范数为1，即$y$是单位，但$\pi$与$\sqrt{-q}$不在同一子环，不可能相伴）。
   因此$\pi$满足$\pi \mid (\sqrt{-q})(-\sqrt{-q})$但$\pi$不整除其中任何一个因子，不满足素元的定义。

可引用参考文献 #

Atiyah, M. F., & Macdonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co.

该教材第1章详细定义了素元与不可约元的概念，第10章阐述了直极限环的基本性质。结合代数数论中数域子环的范数分析，可严格推导出上述结论：该直极限环中的任意非零非单位元都无法满足素元的整除性条件，故素元集合为空。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peter Heinig