关于递减有界实数子集列的上确界极限是否为0的求证

Hey，这个问题挺有意思的，结论其实是不一定成立——我们能构造出满足所有给定条件，但$\lim_{n \to \infty} (\sup X_n) \neq 0$的反例；不过如果给子集序列加上「每个$X_n$是闭集」的限制，结论就成立了。下面详细说明：

反例构造 #

取$M=1$，$L=\frac{1}{2}$（任意正数都可以），定义每个$X_n$为：
$$X_n = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right] \cup {0}$$

我们逐一验证它满足所有给定条件：

• 对任意$x \in X_n$，显然$0 \leq x \leq 1 = M$，满足第一个条件；
• 因为$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$，所以$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right]$，因此$X_{n+1} \subseteq X_n$，满足第二个条件；
• 计算交集$\bigcap_{n=1}^\infty X_n$：
  • 对于任意$x > \frac{1}{2}$，总能找到足够大的$n$使得$x > \frac{1}{2} + \frac{1}{n}$，此时$x \notin X_n$；
  • 对于$0 < x \leq \frac{1}{2}$，$x$不在区间$\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right]$里，也不等于$0$，所以$x \notin X_n$；
  • 只有$0$属于所有$X_n$，因此交集为${0}$，满足第三个条件。

但此时$\sup X_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{n}$，显然$\lim_{n \to \infty} \sup X_n = \frac{1}{2} \neq 0$——这就直接推翻了原结论。

闭集情形下结论成立 #

如果我们额外要求每个$X_n$是$\mathbb{R}$中的闭集，那么$\lim_{n \to \infty} (\sup X_n) = 0$就成立了，证明如下：

1. 首先，因为$X_{n+1} \subseteq X_n$，所以$\sup X_{n+1} \leq \sup X_n$，即序列${\sup X_n}$是单调不增的；同时每个$\sup X_n \geq 0$（因为$X_n$包含非负元素），根据单调有界定理，$\lim_{n \to \infty} \sup X_n = L$存在且$L \geq 0$。
2. 用反证法假设$L > 0$：
   • 因为${\sup X_n}$单调递减到$L$，所以对任意$n$，$\sup X_n \geq L$。由于$X_n$是闭集，$\sup X_n \in X_n$（闭集的上确界属于自身，当集合非空且有上界时）。
   • 因此$\sup X_n \in X_n$，又因为$X_{n+1} \subseteq X_n$，所以$\sup X_n \in X_k$对所有$k \leq n$；而当$k \geq n$时，$X_k \subseteq X_n$，所以$\sup X_n \in X_n \subseteq X_k$，即$\sup X_n \in X_k$对所有$k \geq 1$。
   • 这说明$\sup X_n \in \bigcap_{k=1}^\infty X_k = {0}$，即$\sup X_n = 0$对所有$n$，与$L > 0$矛盾。
3. 因此$L=0$，结论成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matey Math