DVR局部同态与函数域嵌入诱导完备化函数域连续嵌入的验证问题

我们考虑$f:A\to B$这样一个*离散赋值环（DVR）*之间的局部同态，记$K(A)$和$K(B)$分别是$A$和$B$的分式域（即你描述中的函数域），并且假设存在嵌入$i:K(A)\to K(B)$。现在的核心问题是：$A$和$B$关于各自极大理想的完备化$\widehat{A}$和$\widehat{B}$，$f$与$i$能否诱导出一个连续嵌入$j:K(\widehat{A})\to K(\widehat{B})$？

我的思考与解答思路 #

首先要明确，$K(\widehat{A})$中的任意元素都可以表示为$\frac{\lim a_n}{\lim b_n}$的形式——这里$\{a_n\}$和$\{b_n\}$是$A$中的柯西序列，且$\{b_n\}$不趋于0（也就是在完备化$\widehat{A}$中的极限非零）。基于这个表示，我们可以一步步构造并验证这个连续嵌入$j$：

1. 诱导完备化之间的同态
   局部同态$f$可以自然诱导出完备化之间的局部同态$\widehat{f}:\widehat{A}\to\widehat{B}$：对于$\widehat{A}$中的元素$\alpha=\lim a_n$，定义$\widehat{f}(\alpha)=\lim f(a_n)$。因为$f$是DVR之间的局部同态，它保持赋值的相容性（即$v_B(f(x))\geq v_A(x)$对所有$x\in A$成立），所以$\{f(a_n)\}$必然是$B$中的柯西序列，其极限落在$\widehat{B}$中。同时，若$\beta=\lim b_n\neq0$，则存在$N$，当$n>N$时$b_n\notin\mathfrak{m}_A$（$\mathfrak{m}_A$是$A$的极大理想），而$f$将$A$的单位元映射到$B$的单位元，非极大理想中的元素（单位）会被映射到$B$的单位，因此$\{f(b_n)\}$的极限$\widehat{f}(\beta)$也不会是$\widehat{B}$中的零元。

2. 定义分式域上的映射$j$
   对于$K(\widehat{A})$中的任意元素$\frac{\alpha}{\beta}$（$\alpha,\beta\in\widehat{A},\beta\neq0$），我们定义$j\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)=\frac{\widehat{f}(\alpha)}{\widehat{f}(\beta)}$。这个定义是良定的：如果$\frac{\lim a_n}{\lim b_n}=\frac{\lim c_n}{\lim d_n}$，则$\lim(a_n d_n)=\lim(b_n c_n)$，而$\widehat{f}$是连续同态，因此$\lim f(a_n d_n)=\lim f(b_n c_n)$，即$\lim f(a_n)\lim f(d_n)=\lim f(b_n)\lim f(c_n)$，从而$\frac{\lim f(a_n)}{\lim f(b_n)}=\frac{\lim f(c_n)}{\lim f(d_n)}$。

3. 验证连续性与嵌入性

   • 连续性：$K(\widehat{A})$和$K(\widehat{B})$的拓扑由各自的赋值诱导。对于$x=\frac{\alpha}{\beta}\in K(\widehat{A})$，其赋值$v_{\widehat{A}}(x)=v_{\widehat{A}}(\alpha)-v_{\widehat{A}}(\beta)$，而$v_{\widehat{B}}(j(x))=v_{\widehat{B}}(\widehat{f}(\alpha))-v_{\widehat{B}}(\widehat{f}(\beta))$。由于$\widehat{f}$是局部同态，$v_{\widehat{B}}(\widehat{f}(y))\geq v_{\widehat{A}}(y)$对所有$y\in\widehat{A}$成立，因此当$v_{\widehat{A}}(x)$增大（即$x$趋近于0）时，$v_{\widehat{B}}(j(x))$也会增大，满足连续性要求。
   • 嵌入性（单射）：假设$j(x)=0$，则$\widehat{f}(\alpha)=0$（其中$x=\frac{\alpha}{\beta}$），即$\lim f(a_n)=0$。这意味着对任意$k>0$，存在$N$，当$n>N$时$f(a_n)\in\mathfrak{m}_B^k$。而$f^{-1}(\mathfrak{m}_B)=\mathfrak{m}_A$，因此$a_n\in\mathfrak{m}_A^k$对$n>N$成立，从而$\alpha=\lim a_n=0$，即$x=0$，证明了$j$是单同态。

额外注意点 #

这里需要确保$f$与$i$的相容性：对于$a,b\in A,b\neq0$，$i\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{i(a)}{i(b)}=\frac{f(a)}{f(b)}$——这正是题目中$i$作为$K(A)\to K(B)$嵌入的意义，它与局部同态$f$在$A$上的作用是一致的，这保证了我们定义的$j$在$K(A)$上与$i$是相容的，不会出现矛盾。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dubious