如何参数化f(z)=e^z映射下圆盘B(a,r)像的边界？

嘿，你的猜想完全正确！咱们一步步拆解这个问题：

1. 先确认你的核心猜想：$f(\partial B(a,r)) = \partial f(B(a,r))$ #

指数函数$f(z)=e^z$是复平面上的解析函数，而且它有两个关键性质：局部单射（在任何一点的小邻域里都是一对一的），同时是开映射（把开集映射成开集）。我们从两个方向证明这个等式：

• 方向1：圆盘边界的像一定是像集的边界
  假设$w$是$\partial B(a,r)$中某点$z$的像（也就是$w=e^z$），如果$w$不在$\partial f(B(a,r))$里，那它要么在$f(B(a,r))$的内部，要么在外部。
  • 如果$w$在内部，那它周围有个小邻域完全包含在$f(B(a,r))$里。但$z$在圆盘边界，它的小邻域里既有圆盘内部的点也有外部的点，而$f$在$z$附近是局部单射的，这些内部点的像应该在$f(B(a,r))$里，外部点的像不在——但这就和$w$的邻域全在$f(B(a,r))$里矛盾了。
  • 如果$w$在像集外部，同理，$w$的邻域里都没有$f(B(a,r))$的点，但$z$的邻域里有圆盘内部的点，它们的像应该在$f(B(a,r))$里，这也矛盾。所以$w$只能在像集的边界上。
• 方向2：像集的边界一定是圆盘边界的像
  假设$w$是$\partial f(B(a,r))$上的点，那它周围既有$f(B(a,r))$里的点，也有外面的点。取两个分别趋近于$w$的序列：${w_n}$来自$f(B(a,r))$，${w'_n}$来自外面。对应地，$w_n=e^{{z_n}$（$z_n$在圆盘里），$w'_n=e}{z'_n}$（$z'_n$不在圆盘里）。
  看序列${z_n}$，如果它有收敛子列到某个$z$，那$z$肯定在圆盘的闭包$\overline{B(a,r)}$里，而且$e^z=w$。如果$z$在圆盘内部，那根据$f$是开映射的性质，$w$应该在$f(B(a,r))$的内部，和$w$是边界点矛盾，所以$z$只能在圆盘边界上，也就是$w$属于$f(\partial B(a,r))$。
  如果${z_n}$没有收敛子列，那$|z_n|$会趋向无穷，但$|w_n|=e^{{\text{Re}(z_n)}$趋向$|w|$，说明$\text{Re}(z_n)$有界，那$\text{Im}(z_n)$必须无界，但$e}{i\text{Im}(z_n)} = w_n / e^{\text{Re}(z_n)}$是收敛的，这和$\text{Im}(z_n)$无界矛盾，所以这种情况不可能发生。

这样就完全证明了你的猜想：圆盘边界在指数函数下的像，就是圆盘像集的边界。

2. $\partial f(B(a,r))$的参数化 #

既然猜想成立，那参数化就很直接了：
圆盘边界$\partial B(a,r)$的标准参数化是$\varphi \mapsto a + r e^{i\varphi}$（$\varphi \in [0,2\pi)$），把这个代入指数函数，就得到像集边界的参数化：
$$\gamma(\varphi) = e^{a + r e^{i\varphi}}, \quad \varphi \in [0, 2\pi)$$

如果把$a$拆成实部和虚部$a = x_0 + i y_0$（$x_0,y_0$是实数），还能把这个参数化展开得更直观：
$$\gamma(\varphi) = e^{x_0 + r \cos\varphi} \cdot e^{i(y_0 + r \sin\varphi)}$$
这是一条闭曲线：它的模长（到原点的距离）在$e^{x_0 - r}$到$e^{x_0 + r}$之间周期性变化，辐角在$y_0 - r$到$y_0 + r$之间变化，整体是一条绕原点“伸缩”的闭曲线，有点类似对数螺线的闭版本。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sliem el Ela