求证：若$f \in \mathcal L^1(\mathbb R)$，则$fx^n \in \mathcal S'(\mathbb{R})$及相关疑问解答

首先，咱们得先明确缓增分布的定义：$\mathcal S'(\mathbb{R})$是速降函数空间$\mathcal S(\mathbb{R})$上的连续线性泛函构成的空间。所以要证明$fx^n$属于$\mathcal S'(\mathbb{R})$，我们只需要把它定义为$\mathcal S(\mathbb{R})$上的一个线性泛函，然后验证这个泛函是良定义且连续的就行。

步骤1：定义泛函并证明良定义性 #

对于任意速降函数$\phi \in \mathcal S(\mathbb{R})$，我们定义泛函：
$$
\langle fx^n, \phi \rangle = \int_{\mathbb{R}} f(x) x^n \phi(x) dx
$$
要证明这个积分是有意义的：

• 因为$\phi \in \mathcal S(\mathbb{R})$，根据速降函数的定义，对于任意非负整数$k$，$\sup_{x \in \mathbb{R}} |x^k \phi(x)| < \infty$。取$k=n$，就存在常数$C>0$，使得$|x^n \phi(x)| \leq C$对所有$x \in \mathbb{R}$成立。
• 而$f \in \mathcal L^1(\mathbb{R})$，意味着$\int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx < \infty$。此时$|f(x) x^n \phi(x)| \leq C |f(x)|$，而$C|f(x)|$是可积函数，由控制收敛定理，这个积分必然存在，所以泛函是良定义的。

步骤2：验证线性性 #

线性性是显然的：对于任意$\phi_1, \phi_2 \in \mathcal S(\mathbb{R})$和复数$a,b$，有
$$
\langle fx^n, a\phi_1 + b\phi_2 \rangle = \int_{\mathbb{R}} f(x)x^n(a\phi_1(x)+b\phi_2(x))dx = a\int_{\mathbb{R}}f(x)x^n\phi_1(x)dx + b\int_{\mathbb{R}}f(x)x^n\phi_2(x)dx = a\langle fx^n, \phi_1 \rangle + b\langle fx^n, \phi_2 \rangle
$$
所以这个泛函是线性的。

步骤3：证明连续性 #

$\mathcal S(\mathbb{R})$上的拓扑是由半范数族$p_{k,m}(\phi) = \sup_{x \in \mathbb{R}} |x^k \phi^{(m)}(x)|$生成的，泛函连续的充要条件是：存在常数$C$和非负整数$k,m$，使得对所有$\phi \in \mathcal S(\mathbb{R})$，有
$$
|\langle fx^n, \phi \rangle| \leq C \cdot p_{k,m}(\phi)
$$
我们来计算泛函的绝对值：
$$
|\langle fx^n, \phi \rangle| \leq \int_{\mathbb{R}} |f(x)| \cdot |x^n \phi(x)| dx \leq \left( \int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx \right) \cdot \sup_{x \in \mathbb{R}} |x^n \phi(x)| = |f|{L^1} \cdot p{n,0}(\phi)
$$
这里$|f|{L^{1}$是$f$的$L}1$范数（一个确定的常数），$p{n,0}(\phi)$就是$\mathcal S$上的半范数。这完全满足连续泛函的条件，所以这个泛函是$\mathcal S(\mathbb{R})$上的连续线性泛函，也就是$fx^n \in \mathcal S'(\mathbb{R})$。

解答你的疑问 #

你提到“已知$\mathcal S(\mathbb{R})$包含于$\mathcal L^1(\mathbb{R})$，此处似乎暗示了相反关系”——其实这里并没有反向包含的意思：

• $\mathcal S(\mathbb{R}) \subset \mathcal L^1(\mathbb{R})$是函数空间之间的包含，指的是所有速降函数都是可积的；
• 而我们这里是把$L^1$中的函数$f$，通过积分配对的方式，对应到$\mathcal S'(\mathbb{R})$中的一个分布，这是从函数空间到分布空间的嵌入，不是函数空间的反向包含。

另外你说“$\mathcal S(\mathbb{R})$上的连续泛函当然是缓增分布”——没错！缓增分布的定义就是$\mathcal S(\mathbb{R})$的拓扑对偶空间，所以只要我们证明了$fx^n$对应的泛函是$\mathcal S$上的连续线性泛函，它自然就是缓增分布，这也是整个证明的核心逻辑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者agneau