基于已知平移性质，能否证明θ(z+τ*)相关θ函数恒等式？

当然可以证明这个等式，我们可以结合θ函数的定义和题目给出的变换性质一步步推导，具体过程如下：

首先明确已知信息：

• θ函数的定义：$$\theta(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{2\pi inz},$$ 其中$q = e^{\pi i\tau}$且$Im(\tau) > 0$
• 已证的变换性质：
  1. $\theta(z+1) = \theta(z)$（周期为1）
  2. $\theta(z+\tau)=q^{-1}e{-2\pi iz}\theta(z)$（准周期性质）
• 目标式中的$\tau^* = \frac{1+\tau}{2}$，可拆分为$\tau^* = \frac{1}{2} + \frac{\tau}{2}$

步骤1：展开左边$\theta(z+\tau^*)$ #

根据$\tau^$的拆分，直接用θ函数定义展开：
$$
\begin{align}
\theta(z+\tau^) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{2\pi in\left(z + \frac{1+\tau}{2}\right)} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{2\pi inz} \cdot e^{\pi in(1+\tau)} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{2\pi inz} \cdot (-1)^n \cdot q^n \quad \text{（因为$e^{\pi in}=(-1)^n$，$q=e{\pi i\tau}$故$q^n=e{\pi in\tau}$）} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n q^{n2 + n} e^{2\pi inz}
\end{align}
$$

步骤2：展开右边的$\theta(\tau^* - z)$ #

同样用定义展开$\theta(\tau^* - z)$：
$$
\begin{align*}
\theta(\tau^* - z) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{2\pi in\left(\frac{1+\tau}{2} - z\right)} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2}e^{\pi in(1+\tau)} \cdot e^{-2\pi inz} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{n2} \cdot (-1)^n \cdot q^n \cdot e^{-2\pi inz} \
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-1)^n q^{n2 + n} e^{-2\pi inz}
\end{align*}
$$

步骤3：变量替换匹配两边形式 #

对左边的求和式做变量替换：令$k = -n - 1$，当$n$遍历所有整数时，$k$也会遍历所有整数。代入左边表达式：
$$
\begin{align*}
\theta(z+\tau^) &= \sum_{k \in \mathbb{Z}} (-1)^{-k-1} q^{(-k-1)2 + (-k-1)} e^{2\pi i(-k-1)z} \
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} (-1)^{k+1} q^{(k+1)2 - (k+1)} e^{-2\pi i(k+1)z} \quad \text{（因为$(-1)^{-m}=(-1)m$）} \
&= \sum_{k \in \mathbb{Z}} (-1)^{k+1} q^{k2 + k} e^{-2\pi ikz} \cdot e^{-2\pi iz} \
&= -e^{-2\pi iz} \sum_{k \in \mathbb{Z}} (-1)^k q^{k2 + k} e^{-2\pi ikz}
\end{align}
$$

对比步骤2中$\theta(\tau^* - z)$的表达式，显然$\sum_{k \in \mathbb{Z}} (-1)^k q^{k2 + k} e^{-2\pi ikz} = \theta(\tau^* - z)$，因此：
$$
\theta(z+\tau^) = -e^{-2\pi iz}\theta(\tau^ - z)
$$

至此等式得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user477203