整数向量趣味谜题：确定k维正整数向量的最少查询向量数

嘿，这个问题挺有意思的！让我们一步步拆解它：

先给出核心结论：

• 如果允许自定义向量使用实数分量（比如例子里的3/2，或者超越数），那么最小的T是1。
• 如果限制自定义向量只能用有理数/整数分量，那么最小的T是2（完全不需要k个向量）。

情况1：允许实数分量的自定义向量 #

我们只需要构造一个1×k的向量，让任意两个不同的正整数向量V和V'，与它的点积都不相等。

比如选择向量：[1, π, π², ..., π^{k-1}]，其中π是圆周率（超越数）。假设存在两个不同的正整数向量V = [n₁,n₂,...,n_k]和V' = [n₁',n₂',...,n_k']，它们的点积相等：
$$n₁ + n₂π + n₃π² + ... + n_kπ^{k-1} = n₁' + n₂'π + n₃'π² + ... + n_k'π^{k-1}$$
整理后得到：
$$(n₁-n₁') + (n₂-n₂')π + ... + (n_k-n_k')π^{k-1} = 0$$
这意味着π是一个非零整系数多项式的根，但π是超越数（不满足任何整系数多项式方程），矛盾。因此这样的V和V'不存在，单个向量就足以唯一确定V。

你也可以用其他超越数（比如自然常数e），或者代数无关的实数来构造这个向量，效果是一样的。

情况2：仅允许有理数/整数分量的自定义向量 #

这时候单个向量不够用——比如k=2时，向量[1,1]无法区分[1,2]和[2,1]（两者点积都是3）。但我们只需要2个向量就可以搞定任意k：

比如选择以下两个向量：

1. 全1向量：[1,1,...,1]，点积为S = n₁ + n₂ + ... + n_k
2. 幂次向量：[1, M, M², ..., M^{k-1}]，其中M是一个大于k的整数（比如M=k+1），点积为P = n₁ + n₂M + n₃M² + ... + n_kM^{k-1}

现在假设两个不同的正整数向量V和V'有相同的S和P：

• 设d_i = n_i - n_i'，则Σd_i = 0（因为S相同），且Σd_iM^{i-1} = 0（因为P相同）。
• 把第二个式子变形为Σd_i(M^{i-1} - 1) = 0（因为Σd_i = 0，减去它就得到这个等式）。

由于M>k，M^{i-1}-1对于i≥2都是大于k-1的正数。如果存在非零的d_i，那么必然有正有负（因为Σd_i=0）。假设某个d_i>0，d_j<0（i<j），那么d_i(M^{i-1}-1)的绝对值至少是M^{i-1}-1，而d_j(M^{j-1}-1)的绝对值至少是M^{j-1}-1，后者远大于前者（因为M>1，j>i），所以它们的和不可能为0。其他组合的非零d_i也无法满足等式，因此V和V'必须相同。

这说明两个有理数/整数向量就足以唯一确定任意k维正整数向量V。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user532929