商空间直和与原空间是否同构？及模同构相关技术疑问

嘿，我来帮你拆解下你提出的这两个模论问题，顺便聊聊你关于短正合列的困惑：

问题1：商空间（模）与其子模的直和是否同构于原空间（模）？ #

答案是不一定！只有当对应的短正合列是分裂短正合列的时候，这个同构才成立。绝大多数情况下，非分裂的短正合列会直接打破这个结论，我后面会举例子说明。

问题2：关于左$R$-子模的映射是否为同构？ #

首先提个小细节：你写的$A\subset B$是$M$的左$R$-子模，但映射里用到了$A/B$这个商模——只有当$B$是$A$的子模时，$A/B$才有定义，所以应该是笔误，实际是$B\subset A$对吧？那咱们基于这个前提来分析：

先看映射的合理性 #

你定义的映射$\phi: A/B \oplus B \to A,;;; \phi((a+B), b) = a +b$（这里把直和元素用逗号分隔更准确，毕竟是两个分量的有序对），其实它不是良定义的！举个例子：假设$A=\mathbb{Z}$，$B=2\mathbb{Z}$，那么$A/B=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。取$a=1$，$a'=3$，显然$1+B=3+B$，但$\phi((1+B),0)=1$，$\phi((3+B),0)=3$，这两个结果在$A$里是不同的，这就说明同一个商类对应了不同的像，映射良定义的前提就不满足了。

关于短正合列的困惑 #

你提到的短正合列$0 \to G \xrightarrow{f} G'\xrightarrow{g} G'' \to 0$，根据第一同构定理确实有$G \cong \text{im}\ f$且$G'/\text{im}\ f \cong G''$，但你推导的$G' \cong G'' \oplus \text{im}\ f$只在短正合列分裂时成立。

什么是分裂短正合列？简单说就是存在一个同态$s: G''\to G'$，使得$g\circ s = \text{id}_{G''}$（这个$s$叫做截面），或者存在一个同态$r: G'\to G$使得$r\circ f = \text{id}_G$（收缩）。但不是所有短正合列都有这样的映射，比如阿贝尔群（$\mathbb{Z}$-模）的经典例子：
$$0\to \mathbb{Z}\xrightarrow{\times 2}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$$
这个序列就不分裂，因为$\mathbb{Z}$里没有2阶元，但$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$里有（比如$(0,1)$），所以这两个群显然不同构，也就打破了你认为的普遍同构结论。

你的证明可能的问题 #

你大概率是默认了商映射存在截面，但这个前提不是普遍成立的，只有当$G''$是投射模，或者$G$是内射模时，短正合列才必然分裂，而一般的模并不满足这些条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MadcowD