求使多项式x³-120x+p在有理数域可约的所有p及素数p值

问题1：找出所有使多项式可约的整数 $p$ 值 #

对于三次多项式来说，在有理数域上可约的充要条件是它存在有理根（因为三次多项式若可约，必然能分解为一次因式乘二次因式，而首一多项式的有理根必为整数，由有理根定理可知）。

设整数 $r$ 是多项式的根，则满足：
$$r^3 - 120r + p = 0$$
整理得：
$$p = 120r - r^3$$

因此，所有能使多项式可约的 $p$ 值，就是所有形如 $120r - r^3$ 的整数，其中 $r$ 取遍所有整数。例如：

• 当 $r=0$ 时，$p=0$；
• 当 $r=1$ 时，$p=119$；
• 当 $r=11$ 时，$p=-11$；
• 当 $r=-11$ 时，$p=11$；
  等等。

问题2：当 $p$ 为素数时，找出所有使多项式可约的 $p$ 值 #

素数的定义包含正素数（大于1的自然数）和负素数（小于-1的整数，仅能被1和自身整除）。我们把 $p = 120r - r^3$ 变形为 $p = r(120 - r^2)$，由于 $p$ 是素数，这个乘积的整数因数只能是 $\pm1$ 和 $\pm p$，分情况讨论：

情况1：$p$ 为正素数

此时乘积 $r(120 - r^2)$ 是正素数，只有两种可能：

1. 其中一个因数为 $1$，另一个为素数：
   • 若 $r=1$，则 $p=1 \times (120-1)=119$，但 $119=7 \times 17$ 不是素数，排除；
   • 若 $120 - r^2=1$，则 $r^2=119$，$r$ 不是整数，排除；
2. 其中一个因数为 $-1$，另一个为 $-p$（负负得正）：
   • 若 $r=-1$，则 $p=-1 \times (120-1)=-119$，不是正素数，排除；
   • 若 $120 - r^2=-1$，则 $r^2=121$，即 $r=\pm11$：
     • 当 $r=11$ 时，$p=11 \times (120-121)=-11$，不是正素数；
     • 当 $r=-11$ 时，$p=-11 \times (120-121)=11$，$11$ 是正素数，符合条件。

情况2：$p$ 为负素数

此时乘积 $r(120 - r^2)$ 是负素数，同样分析：

• 当 $r=11$ 时，$p=11 \times (120-121)=-11$，$-11$ 是负素数，符合条件；
• 其他整数 $r$ 代入后，$p$ 要么是合数，要么是0，均不符合素数定义。

综上，当 $p$ 为素数时，满足条件的 $p$ 值为 $11$（正素数）和 $-11$（负素数）。若题目仅考虑正素数，则答案为 $11$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jware