球心在原点的球面，已知点P的y坐标等条件，如何求解P？

我来一步步帮你拆解这个问题哈，思路其实挺清晰的，咱们从已知条件出发慢慢推导：

第一步：梳理所有已知条件 #

• 球S的球心在原点，所以它的球面方程是 x² + y² + z² = R²（这里R是球的半径，题目里没给出具体值，咱们先保留这个变量）
• 点P在球面上，且y坐标固定为y₀，所以咱们可以先设P的坐标为 (x, y₀, z)，这个点必须满足上面的球面方程
• 点(x₀, 0, z₀)在原点到P的y=0平面投影的连线上：P在y=0平面的投影是(x, 0, z)，这条连线就是过原点(0,0,0)和(x,0,z)的直线

第二步：用直线参数关系关联坐标 #

过原点和(x,0,z)的直线上的任意点，都可以表示成 (k*x, 0, k*z) 的形式，其中k是任意实数（你可以把它理解为缩放系数）。题目说(x₀,0,z₀)在这条线上，那肯定存在某个k值，使得：

x₀ = k*x
z₀ = k*z

从这里咱们能推导出一个比例关系：x/x₀ = z/z₀ = 1/k（这里要注意，x₀和z₀不能同时为0，不然这条线就是原点，没法确定方向）。咱们可以把这个比例设为t，也就是 x = t*x₀，z = t*z₀，这样就把P的x、z坐标用t和已知的x₀、z₀关联起来了。

第三步：代入球面方程求解t #

把x = t*x₀和z = t*z₀代入球面方程：

(t*x₀)² + y₀² + (t*z₀)² = R²

整理一下式子：

t²*(x₀² + z₀²) = R² - y₀²

这里有两个关键前提要注意：

1. R² ≥ y₀²：如果右边是负数，t就没有实数解，说明球面上根本不存在y坐标为y₀的点（比如y₀的绝对值比球半径R还大）
2. x₀² + z₀² ≠ 0：也就是(x₀,0,z₀)不能是原点，不然没法确定直线方向，这种情况下P只能是(0, y₀, 0)（前提是R²≥y₀²）

如果满足上面两个条件，咱们就能解出t：

t = ±√[(R² - y₀²)/(x₀² + z₀²)]

第四步：得到点P的最终坐标 #

把解出来的t代入x = t*x₀和z = t*z₀，就能得到球面上满足条件的点P了：

• 当t取正值时：P₁ = ( x₀*√[(R² - y₀²)/(x₀² + z₀²)], y₀, z₀*√[(R² - y₀²)/(x₀² + z₀²)] )
• 当t取负值时：P₂ = ( -x₀*√[(R² - y₀²)/(x₀² + z₀²)], y₀, -z₀*√[(R² - y₀²)/(x₀² + z₀²)] )

这两个点就是所有满足条件的点啦，它们关于y轴对称~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel