如何确定等大小子集中满足k个元素全大于/小于另一子集的配置数量？

咱们一步步理清楚这个问题：

已知有集合 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，要拆成两个各5个元素的子集，总共有 C(10,5) = 252 种划分方式。其中只有2种是一个子集所有元素都比另一个子集大的（就是{0,1,2,3,4}和{5,6,7,8,9}这俩）。现在要算的是，这252种里，有多少种能满足所选的5元子集里恰好有4个元素，每个都比另一个子集的所有元素大。

关键逻辑梳理 #

要满足这个条件，得抓住两个核心点：

• 那4个“全大于”的元素，必须是整个集合里最大的4个——也就是{6,7,8,9}。为啥？要是这4个里少了任何一个最大元素（比如少了9），那9就会跑到另一个子集里，这时候所选子集里的其他元素比如8就比9小，根本满足不了“全大于另一个子集所有元素”的要求。
• 所选子集里剩下的第5个元素，得从比6小的元素里挑，但不能挑5——因为挑5的话，所选子集就变成{5,6,7,8,9}，这就属于那种“5个元素全大于另一个子集”的特殊情况，已经被单独算过了，得排除掉。

具体计算 #

从{0,1,2,3,4}里选1个元素加到{6,7,8,9}里，就能组成符合要求的子集：

• 可选的元素有0、1、2、3、4，一共5种选择。
• 每种选择对应唯一的划分：比如选0的时候，所选子集是{0,6,7,8,9}，另一个子集是{1,2,3,4,5}——这时候子集里的6,7,8,9都比另一个子集的所有元素大，而0显然做不到，完美符合“恰好4个元素全大于”的条件。

最终结论 #

符合要求的划分方式一共有5种。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者statpad