求由x=0、y=π/4与y=arctan(x)围成区域的面积及积分疑问

嘿，你提到的积分∫₀^∞ arctanx dx其实是发散的（因为当x趋近于无穷大时，arctanx趋近于π/2，这个积分相当于求一个高度趋近于π/2的无限长矩形面积，结果是无穷大），这说明你可能对三条线围成的区域范围理解错啦。

先明确三条边界的交点：

• x=0（y轴）和y=arctanx交于(0, 0)
• x=0和y=π/4交于(0, π/4)
• y=π/4和y=arctanx交于(1, π/4)（因为arctan1=π/4）

所以这三条线围成的是一个封闭的有限区域，而不是延伸到无穷远的区域。下面用两种方法计算这个区域的面积：

方法一：对x变量积分（x∈[0,1]） #

在x从0到1的区间内，区域的上边界是y=π/4，下边界是y=arctanx，因此面积公式为：
$$A = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{4} - \arctan x \right) dx$$

拆分积分并计算：

1. 第一部分：$\frac{\pi}{4} \int_{0}^{1} dx = \frac{\pi}{4} \times (1-0) = \frac{\pi}{4}$
2. 第二部分用分部积分法计算$\int_{0}^{1} \arctan x dx$：
   设$u = \arctan x$，$dv = dx$，则$du = \frac{1}{1+x^2}dx$，$v = x$
   根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，可得：
   $$\int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$$
   对$\int \frac{x}{1+x^2} dx$换元，令$t=1+x^2$，$dt=2xdx$，则：
   $$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$
   代入上下限0到1：
   $$\left[ x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_{0}^{1} = \left( 1 \times \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln2 \right) - 0 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln2}{2}$$

将两部分结果合并：
$$A = \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\ln2}{2} \right) = \frac{\ln2}{2}$$

方法二：对y变量积分（y∈[0,π/4]） #

把x表示为y的函数：$x = \tan y$（因为$y = \arctan x$的反函数是$x = \tan y$），此时区域的右边界是$x=\tan y$，左边界是x=0，面积公式为：
$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan y dy$$

计算这个积分：
$$\int \tan y dy = -\ln|\cos y| + C$$
代入上下限：
$$A = -\ln\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + \ln\cos0 = -\ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \ln1 = \frac{1}{2}\ln2$$

两种方法得到的结果一致，所以区域面积是$\frac{\ln2}{2}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Herrpeter