如何求解如下黎曼和形式的极限？构造函数出错求指正

首先，我们来拆解这个极限的结构——它是定积分的黎曼和形式，你的核心问题出在对黎曼和对应函数的构造上，我们一步步理清楚：

黎曼和的对应逻辑 #

回忆定积分的定义：
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i) \cdot \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
其中：

• $\Delta x = \frac{b-a}{n}$：是区间$[a,b]$的等分步长
• $x_i = a + i\cdot\Delta x$：是第$i$个小区间的右端点（左端点也可以，极限结果一致）

现在看题目中的求和式：
$$\sum_{i=1}^{n\left(\frac{2\left(1+\frac{2i}{n}\right)}{\left(1+\frac{2i}{n}\right)}2+1}\right)\cdot \frac{2}{n}$$

我们可以拆分出两个关键部分：

1. 步长$\Delta x = \frac{2}{n}$，说明积分区间的长度是$2$（即$b-a=2$）
2. 被求和的函数部分里的变量是$1+\frac{2i}{n}$，我们令$x_i = 1+\frac{2i}{n}$，那么$x_i = 1 + i\cdot\Delta x$——这意味着：
   • 当$i=1$时，$x_1=1+\frac{2}{n}$（趋近于$1$，当$n\to\infty$）
   • 当$i=n$时，$x_n=1+\frac{2n}{n}=3$
     所以积分区间是$[1,3]$，对应的函数是$f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

你的错误点 #

你构造的函数是$y=\frac{2(1+2x)}{(1+2x)^2 + 1} × 2$，这里犯了两个变量对应错误：

• 错误地把$x$当成了$\frac{i}{n}$，而实际上题目里的变量是$\frac{2i}{n}$，如果要令$x=\frac{i}{n}$，那么$\frac{2i}{n}=2x$，此时步长$\Delta x=\frac{1}{n}$，但题目里的步长是$\frac{2}{n}=2\Delta x$，你额外多乘了一个2，导致函数构造错误
• 后续错误化简得到0，也是因为这个多出来的系数干扰了积分计算

正确解法 #

我们用定积分计算这个极限：
$$\lim _{n\to \infty }\sum {i=1}^{n\left(\frac{2\left(1+\frac{2i}{n}\right)}{\left(1+\frac{2i}{n}\right)}2+1}\right)\cdot \frac{2}{n} = \int{1}^{3} \frac{2x}{x^2+1} dx$$

用换元法计算积分：令$u=x^2+1$，则$du=2x dx$，积分上下限变为：

• 当$x=1$时，$u=1^2+1=2$
• 当$x=3$时，$u=3^2+1=10$

代入后积分变为：
$$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} du = \ln u \bigg|_{2}^{10} = \ln10 - \ln2 = \ln5$$

你也可以换一种变量替换验证：令$t=\frac{2i}{n}$，则$\Delta t=\frac{2}{n}$，当$n\to\infty$时，$t$从$0$到$2$，此时极限变为：
$$\int_{0}^{2} \frac{2(1+t)}{(1+t)^2+1} dt$$
同样换元$u=(1+t)^2+1$，$du=2(1+t)dt$，上下限从$u=2$到$u=10$，结果还是$\ln5$，和之前一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sktsasus