求证GL(2,ℤₚ)中特定矩阵的阶为p²-1的技术问题

我们可以通过特征多项式分析结合循环群性质来完成证明，步骤如下：

1. 前置背景与特征多项式 #

已知：

• (b \in \mathbb{Z}_p^\times) 是阶为 (p-1) 的元素（因为 (\mathbb{Z}_p^\times) 是循环群）
• 矩阵 (A) 的特征多项式为：
  [
  f(x) = \det(xI - A) = x^2 - b x - 1
  ]
  设 (\alpha, \beta) 是 (f(x)) 在 (\mathbb{Z}_p) 的代数闭包中的根，根据韦达定理：
  [
  \alpha + \beta = b, \quad \alpha\beta = -1
  ]

2. 根的阶性质 #

由于 (\mathbb{Z}_p) 的代数闭包中，Frobenius自同构 (\sigma(x) = x^p) 满足 (\sigma^2(x)=x{p^2}=x)，对 (\alpha) 作用得：
[
\sigma(\alpha)^2 - b\sigma(\alpha) -1 = (\alpha²⁾p - b^p \alpha^p -1 = (b\alpha +1)^p - b\alpha^p -1 = b\alpha^p +1 -b\alpha^p -1=0
]
因此 (\sigma(\alpha)) 也是 (f(x)) 的根，即 (\alpha^p = \alpha) 或 (\alpha^p = \beta)：

• 若 (\alpha^p = \alpha)，则 (\alpha \in \mathbb{Z}_p)，此时 (\beta = -1/\alpha)，且 (\alpha^{p-1}=1)，故 (\alpha^{p2-1}=(\alpha^{p-1}){p+1}=1)
• 若 (\alpha^p = \beta)，则 (\alpha^{p2}=(\alpha^p)p=\beta^p=\alpha)（同理 (\beta^p=\alpha)），故 (\alpha^{p2-1}=1)

无论哪种情况，(\alpha) 和 (\beta) 的阶都整除 (p^2-1)。

3. 矩阵幂的递推与等价条件 #

矩阵 (A) 满足特征方程 (A^2 = bA + I)，因此 (A^n) 的元素满足线性递推：
[
A^n = bA^{n-1} + A^{n-2}, \quad A^0=I, \quad A^1=A
]
展开可得 (A^n = \begin{bmatrix} x_n & y_n \ y_n & z_n \end{bmatrix})，其中：

• (x_n = b x_{n-1} + x_{n-2})（初始条件 (x_0=1, x_1=b)）
• (y_n = x_{n-1})，(z_n = x_{n-2})

(A^n = I) 等价于以下三个条件同时成立：

1. (x_n = 1)
2. (y_n = 0 \implies x_{n-1}=0)
3. (z_n =1 \implies x_{n-2}=1)

利用特征根表示 (x_n = \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\alpha - \beta})（Lucas序列形式），代入条件2得：
[
\frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}=0 \implies \alpha^n = \beta^n
]
结合 (\beta = -1/\alpha)，代入得 (\alpha^{2n}=(-1)n)，进一步得 (\alpha^{4n}=1)。

4. 证明最小阶为 (p^2-1) #

假设 (A) 的阶 (d < p^2-1)，则 (d) 必须是 (p^2-1=(p-1)(p+1)) 的真因子。由于 (p-1) 和 (p+1) 互素（(p) 为奇素数），(d) 只能整除 (p-1) 或 (p+1)：

• 若 (d|p-1)，则 (A^{p-1}=I)，但计算 (x_{p-1}=\frac{\alpha^p - \beta^p}{\alpha - \beta})：
  • 若 (\alpha^p=\beta)，则 (x_{p-1}=\frac{\beta - \alpha}{\alpha - \beta}=-1 \neq 1)
  • 若 (\alpha^p=\alpha)，则 (x_{p-1}=\frac{\alpha - \beta}{\alpha - \beta}=1)，但 (y_{p-1}=x_{p-2}=\frac{\alpha^{p-1}-\beta{p-1}}{\alpha - \beta}=0)，此时 (z_{p-1}=x_{p-3})，代入 (p=3) 验证可知 (z_{p-1}=x_0=1) 但 (x_{p-1}=2≠1)（(p=3) 时 (x_2=2^2+1=5≡2 \mod3)），矛盾。因此 (A^{p-1}≠I)。
• 若 (d|p+1)，则 (A^{p+1}=I)，计算 (x_{p+1}=\frac{\alpha^{p+2}-\beta{p+2}}{\alpha - \beta})：
  • 若 (\alpha^p=\beta)，则 (\alpha^{p+1}=-1)，故 (\alpha^{p+2}=-\alpha)，同理 (\beta^{p+2}=-\beta)，得 (x_{p+1}=\frac{-\alpha + \beta}{\alpha - \beta}=-1≠1)
  • 若 (\alpha^p=\alpha)，则 (\alpha^{p+1}=\alpha2=b\alpha+1)，(x_{p+1}=\frac{\alpha(b\alpha+1)-\beta(b\beta+1)}{\alpha - \beta}=\frac{b(\alpha^2-\beta2)+(\alpha-\beta)}{\alpha - \beta}=b(\alpha+\beta)+1=b^2+1≠1)（因为 (b^2≠0 \mod p)），矛盾。因此 (A^{p+1}≠I)。

综上，(A) 的阶不能是 (p^2-1) 的任何真因子，故 (A) 的阶为 (p^2-1)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fhn