已知$z = 5e^{2πi/3}$，求使$(zi)^n ∈ \mathbb{Q}$的最小正整数n

你的推导完全正确！$zi = 5e^{2πi/3} \cdot i = 5e^{{7πi/6}$，因此$(zi)}n = 5^n e^{7nπi/6}$这一步的推导毫无问题。接下来咱们从有理数的定义出发，一步步找到最小的正整数n：

核心条件分析 #

要让$(zi)^n \in \mathbb{Q}$，需要满足两个关键要求：

1. 结果必须是实数：因为有理数是实数的子集，非实数的复数不可能属于$\mathbb{Q}$；
2. 这个实数必须是有理数：结合$5^n$是正整数的特性，只要实数部分是±1，结果就会是整数（自然属于有理数）。

第一步：满足实数条件 #

复数$e^{iθ}$是实数的充要条件是$θ = kπ$（$k \in \mathbb{Z}$）——此时$sinθ = 0$，复数退化为$cosθ = \pm1$。对应到我们的式子：
$$\frac{7nπ}{6} = kπ$$
两边约去π后得到：
$$\frac{7n}{6} = k$$
这意味着$7n$必须是6的整数倍。由于7和6互质（最大公约数为1），n必须是6的倍数才能让等式成立。

第二步：验证有理数条件 #

当n是6的倍数时，$e^{7nπi/6} = e^{kπ} = (-1)^{k$，此时$(zi)}n = 5^n \cdot (-1)^{k$。因为$5}n$是正整数，$(-1)^k$是±1，所以结果必然是整数，显然属于$\mathbb{Q}$。

寻找最小正整数n #

我们可以逐个验证小的正整数：

• n=1到5时，$\frac{7n}{6}$都不是整数，对应的$e^{7nπi/6}$都是非实数的复数，不可能属于$\mathbb{Q}$；
• 当n=6时，$\frac{7×6}{6}=7$，是整数，此时$(zi)^6 = 5^6 \cdot e^{7πi} = 15625×(-1) = -15625$，是整数，完全符合要求。

因此，满足条件的最小正整数n是6。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jane