函数$f(z)=\frac{z^2}{\cos(z)-1}$奇点判定及洛朗级数求解咨询

嘿，我来帮你理清这个问题的思路！你已经搞定了z=0是可去奇点，那k≠0时的奇点类型其实可以通过极点阶数的定义，或者利用泰勒展开来分析，下面一步步来：

首先，我们可以用极点阶数的定义来验证：如果z=a是f(z)的极点，那么存在正整数m，使得$\lim_{z→a}(z-a)^m f(z)$存在且非零，这个m就是极点的阶数。

对于a=2kπ（k≠0，整数），我们做变量替换$w = z - 2kπ$，当z→2kπ时，w→0。此时：

• $\cos(z) = \cos(w+2kπ) = \cos(w)$，所以$\cos(z)-1 = \cos(w)-1$
• 分子$z^2 = (w+2kπ)^{2$，当w→0时，这个式子的极限是$(2kπ)}2 ≠ 0$（因为k≠0）

接下来计算$\lim_{w→0} w^2 \cdot f(z)$：

lim_{w→0} w² * [(w+2kπ)² / (cosw - 1)]

我们知道$\cosw -1$的泰勒展开是$-\frac{w²}{2!} + \frac{w^4}{4!} - \cdots = -\frac{w²}{2}(1 - \frac{w²}{12} + \frac{w^4}{360} - \cdots)$，代入后：

lim_{w→0} w² * [(w+2kπ)² / (-w²/2 + o(w²))] = lim_{w→0} [(w+2kπ)² / (-1/2 + o(1))] = (2kπ)² / (-1/2) = -8k²π²

这个极限存在且不为0，所以根据定义，z=2kπ（k≠0）是二阶极点。

另外，也可以通过零点阶数来快速判断：$\cos(z)-1$在z=2kπ处是二阶零点（因为$\cos(z)-1$的一阶导数$-\sin(z)$在z=2kπ处为0，二阶导数$-\cos(z)$在z=2kπ处为-1≠0），而分子$z^2$在z=2kπ处非零（即零阶零点），所以极点阶数=分母零点阶数 - 分子零点阶数=2-0=2，同样得到是二阶极点。

我们还是用变量替换$w = z - 2kπ$，把f(z)转化为关于w的函数：
$$f(z) = \frac{(w+2kπ)^2}{\cosw - 1}$$

首先展开$\frac{1}{\cosw -1}$：
因为$\cosw -1 = -\frac{w²}{2}(1 - \frac{w²}{12} + \frac{w^4}{360} - \cdots)$，所以：
$$\frac{1}{\cosw -1} = -\frac{2}{w²} \cdot \frac{1}{1 - (\frac{w²}{12} - \frac{w^4}{360} + \cdots)}$$
利用几何级数$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x² + \cdots$（|x|<1），把$x = \frac{w²}{12} - \frac{w^4}{360} + \cdots$代入：
$$\frac{1}{\cosw -1} = -\frac{2}{w²} \left[1 + (\frac{w²}{12} - \frac{w^4}{360}) + (\frac{w²}{12})^2 + \cdots\right] = -\frac{2}{w²} - \frac{1}{6} - \frac{w²}{180} - \cdots$$

然后将其乘以$(w+2kπ)^2 = w² + 4kπ w + 4k²π²$，逐项展开并合并同类项：
$$
\begin{align*}
&(w² + 4kπ w + 4k²π²)\left(-\frac{2}{w²} - \frac{1}{6} - \frac{w²}{180} - \cdots\right)\
=& -\frac{8k²π²}{w²} - \frac{8kπ}{w} + \left(-2 - \frac{2k²π²}{3}\right) - \frac{2kπ w}{3} + \left(-\frac{w²}{6} - \frac{k²π² w²}{45}\right) - \frac{kπ w³}{45} - \cdots
\end{align*}
$$

最后把w换回$z-2kπ$，就得到z=2kπ邻域内的洛朗级数：
$$
f(z) = -\frac{8k²π²}{(z-2kπ)^2} - \frac{8kπ}{z-2kπ} + \left(-2 - \frac{2k²π²}{3}\right) - \frac{2kπ(z-2kπ)}{3} + \cdots
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gogol31