求证至多存在一个28阶非交换群（Sylow 2-子群均循环）及步骤疑问

你的前期思路完全没问题，咱们接着往下推导就行：

首先回顾已得结论：

• 28=2²×7，由Sylow定理，Sylow 7-子群H是唯一的（正规子群），且H≅Z₇；
• Sylow 2-子群有7个，每个K≅Z₄；
• K通过共轭作用在H上，诱导出同态f: Z₄ → Aut(H)，而Aut(Z₇)≅Z₆，所以f是Z₄到Z₆的同态。

分析同态f的可能情况 #

Z₄的生成元是1，f(1)的阶必须同时整除Z₄的阶4和Z₆的阶6，即整除gcd(4,6)=2，所以f(1)的阶只能是1或2：

• 若f(1)=0：这是平凡同态，意味着K中所有元素与H中元素可交换，此时G=H×K≅Z₇×Z₄≅Z₂₈，这是交换群，不符合题目中“非交换”的要求，直接排除。
• 若f(1)=3：这是非平凡同态（3是Z₆中唯一的2阶元），此时对应的群是半直积G=H⋊_f K，咱们重点看这个情况。

证明该半直积的唯一性 #

设H=⟨a⟩（a⁷=1），K=⟨b⟩（b⁴=1），这个半直积的运算规则由共轭作用决定：b a b⁻¹ = a^3（因为f(1)=3，即b作用在a上是a→a³）。

假设存在另一个满足条件的非交换群G'，它同样有正规Sylow 7-子群H'≅Z₇，Sylow 2-子群K'≅Z₄，且诱导的同态也是非平凡的（必然对应f'(1)=3，因为Z₆中只有3是2阶元）。设H'=⟨a'⟩，K'=⟨b'⟩，则G'的运算规则是b' a' b'⁻¹ = a'^3。

此时定义映射φ: G→G'，令φ(a)=a'，φ(b)=b'，显然φ是双射，且满足：

• φ(a^m b^n)=a'm b'^n
• φ((a^m b^n)(ap b^q))=φ(am (b^n a^p) b^q)=φ(am a⁽³n p) b^(n+q))=a'm a'⁽³n p) b'^(n+q)=(a'm b'^n)(a'p b'^q)=φ(am b^n)φ(ap b^q)

所以φ是群同构，说明所有满足条件的非交换群都同构于这个半直积。

结论 #

满足条件的非交换群只有这一个半直积，因此在同构意义下至多存在一个这样的28阶非交换群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557