非可分希尔伯特空间是否具备逼近性质？相关推导疑问

这个问题问得特别好！其实答案是肯定的——所有希尔伯特空间（无论可分与否）都具有逼近性质。

你之所以产生疑惑，是因为把“Schauder基推导逼近性质”当成了唯一路径，但希尔伯特空间有更直接的工具来证明这一点，完全不需要依赖可数的Schauder基：

• 首先回忆逼近性质的核心要求：对任意紧子集$K \subseteq H$和任意$\epsilon > 0$，存在有限秩算子$T: H \to H$，使得对所有$x \in K$，$|T(x) - x| < \epsilon$。
• 对于希尔伯特空间来说，正交投影算子就是完美的候选者：
  1. 取任意紧集$K$和$\epsilon>0$，由于$K$是紧的，我们可以找到有限个向量${x_1, x_2, ..., x_n} \subseteq K$，使得$K$被每个$x_i$的$\epsilon/2$-邻域覆盖。
  2. 令$V$是由这$n$个向量张成的有限维子空间，$P_V$是$H$到$V$的正交投影算子（这是个有限秩算子）。
  3. 对任意$x \in K$，存在某个$x_i$使得$|x - x_i| < \epsilon/2$，再结合正交投影的最优性（$|x - P_V(x)| \leq |x - y|$对所有$y \in V$成立），就能得到$|x - P_V(x)| \leq |x - x_i| < \epsilon/2 < \epsilon$，完美满足逼近性质的要求。

你提到的“含Schauder基的Banach空间具有逼近性质”只是一个充分条件，而非必要条件。非可分希尔伯特空间确实没有可数的Schauder基，但它不需要这个——通过紧集的有限覆盖+正交投影，我们直接就能构造出符合要求的有限秩逼近算子。

另外补充一点：非可分希尔伯特空间虽然没有可数正交基，但它存在不可数的完备正交系，不过在证明逼近性质时，我们根本不需要用到整个正交系，只需要从紧集里提取有限个向量张成子空间就足够了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者0xbadf00d