已知棱长，求共底面四面体对顶点DE距离及四面体高

一、核心思路：拆解问题为「求高」+「求投影点距离」 #

要算DE的长度，我们可以把空间距离拆成底面投影点的平面距离与两个顶点到底面高度差的平方和开根号，公式很直观：
DE² = D'E'² + (h_D - h_E)²
其中：

• h_D 是四面体ABCD中D到底面ABC的高
• h_E 是四面体ABCE中E到底面ABC的高
• D'、E' 分别是D、E在底面ABC上的投影点，D'E' 是这两个点的平面距离

接下来我会一步步讲这两部分的具体计算方法。

二、如何计算四面体的高（以ABCD为例） #

这确实是解决问题的核心，推荐用体积法，步骤简单通用：

1. 计算底面ABC的面积S
   用海伦公式就行：设AB=c，BC=a，AC=b，半周长 p=(a+b+c)/2，则
   S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

2. 计算四面体ABCD的体积V
   用Cayley-Menger行列式，这是通用的四面体体积公式，不管四面体是不是特殊形态都能用：
   288V² 等于下面这个5阶行列式的绝对值：

   | 0   1    1    1    1  |
   | 1   0  AB² AC² AD² |
   | 1 AB²  0  BC² BD² |
   | 1 AC² BC²  0  CD² |
   | 1 AD² BD² CD²  0  |
   

   算出行列式后开根号，再除以√288，就能得到体积V。

3. 求高h_D
   四面体体积的基本公式是 V = (1/3)*S*h，变形一下就能得到高：
   h_D = 3V / S
   用同样的方法就能算出h_E。

三、计算投影点D'、E'的距离D'E' #

把底面ABC放到平面直角坐标系里，计算会更方便：

1. 建立底面坐标系

   • 设点A在(0, 0)，点B在(c, 0)（c就是AB的长度）
   • 计算点C的坐标：x=(b² + c² - a²)/(2c)，y=√(b² - x²)（这里b=AC，a=BC）

2. 求D'的坐标(x₁,y₁)
   D'是D在底面的投影，所以它到A、B、C的距离平方分别是AD² - h_D²、BD² - h_D²、CD² - h_D²，代入坐标得到方程组：

   • x₁² + y₁² = AD² - h_D²
   • (x₁ - c)² + y₁² = BD² - h_D²
   • (x₁ - x)² + (y₁ - y)² = CD² - h_D²
     解这个方程组就能得到D'的坐标，同理算出E'的坐标(x₂,y₂)。

3. 计算D'E'的长度
   用平面两点距离公式：
   D'E' = √[(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²]

四、最终计算DE的长度 #

把上面得到的D'E'、h_D、h_E代入最开始的公式：
DE = √[D'E'² + (h_D - h_E)²]

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexander B.