技术问询：如何利用合数等价条件证明σ(n) ≤ n^(3/2)+n？

你已经掌握了合数的等价条件，这其实能帮我们更清晰地拆分情况，但我们可以用一个更统一的方法覆盖所有n的取值，同时也能关联你已有的结论：

核心思路：利用因数和与调和数的关系 #

对于任意正整数n，因数和$\sigma(n)$可以变形为：
$$\sigma(n) = n \cdot \sum_{d|n} \frac{1}{d}$$
这个变形很直观——把每个因数d替换成$\frac{n}{d}$（同样是n的因数），就能推出$\sum_{d|n}d = n\sum_{d|n}\frac{1}{d}$。所以我们只需要证明：
$$\sum_{d|n} \frac{1}{d} \leq \sqrt{n} + 1$$
两边乘n就能得到目标不等式。

步骤1：拆分因数的倒数和 #

把n的因数分成两类：小于等于$\sqrt{n}$的，和大于$\sqrt{n}$的。对于大于$\sqrt{n}$的因数d，$\frac{n}{d}$必然是小于$\sqrt{n}$的因数，因此：
$$\sum_{d|n} \frac{1}{d} = \sum_{\substack{d|n \ d \leq \sqrt{n}}} \frac{1}{d} + \sum_{\substack{d|n \ d > \sqrt{n}}} \frac{1}{d} = \sum_{\substack{d|n \ d \leq \sqrt{n}}} \frac{1}{d} + \sum_{\substack{d|n \ d < \sqrt{n}}} \frac{d}{n}$$

步骤2：分别估计两部分的上界 #

1. 对于第一部分$\sum_{\substack{d|n \ d \leq \sqrt{n}}} \frac{1}{d}$：
   它不会超过所有≤$\sqrt{n}$的正整数的倒数和（调和数$H_{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}$）。我们知道调和数有经典上界：$H_k \leq \ln k + 1$，代入$k=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$得：
   $$\sum_{\substack{d|n \ d \leq \sqrt{n}}} \frac{1}{d} \leq \ln \sqrt{n} + 1 = \frac{1}{2}\ln n + 1$$

2. 对于第二部分$\sum_{\substack{d|n \ d < \sqrt{n}}} \frac{d}{n}$：
   分子的和不会超过所有≤$\sqrt{n}$的正整数的和，即$\sum_{d=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} d \leq \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+1)}{2} \leq \frac{n + \sqrt{n}}{2} \leq n$（因为$\sqrt{n} \leq n$对所有n≥1成立）。因此：
   $$\sum_{\substack{d|n \ d < \sqrt{n}}} \frac{d}{n} \leq \frac{n}{n} = 1$$

步骤3：合并上界并证明最终不等式 #

把两部分加起来：
$$\sum_{d|n} \frac{1}{d} \leq \frac{1}{2}\ln n + 1 + 1 = \frac{1}{2}\ln n + 2$$
现在只需要证明$\frac{1}{2}\ln n + 2 \leq \sqrt{n} + 1$，也就是：
$$\sqrt{n} - \frac{1}{2}\ln n - 1 \geq 0$$
令$f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{2}\ln x - 1$（x≥1），求导得：
$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{2x}$$
当x≥1时，$f'(x) \geq 0$，说明f(x)在x≥1时单调递增，且$f(1)=1 - 0 -1=0$，因此对所有x≥1，$f(x)≥0$，即$\sqrt{x} \geq \frac{1}{2}\ln x +1$，代入得：
$$\sum_{d|n} \frac{1}{d} \leq \sqrt{n} +1$$
两边乘n就得到：
$$\sigma(n) \leq n(\sqrt{n}+1) = n^{3/2} +n$$

结合你已有的合数结论验证 #

你已经证明n是合数当且仅当$\sigma(n) \geq n+\sqrt{n}$，我们可以用这个来验证逻辑自洽性：

• 对于合数n，$\sigma(n)$的下界是$n+\sqrt{n}$，而上界是$n+n^{3/2}$，显然$\sqrt{n} \leq n^{3/2}$（n≥1），下界小于上界，完全合理；
• 对于素数n，$\sigma(n)=n+1$，显然$n+1 \leq n+n^{{3/2}$（因为$n}{3/2}≥1$对所有素数n≥2成立）；
• n=1时$\sigma(1)=1≤1+1=2$，也成立。

这样就完整证明了目标不等式啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TAPLON