如何用中国剩余定理解同余方程组？恳请修正格式并解答

API 探路者

2026-5-19

用中国剩余定理求解该同余方程组的完整步骤

别担心格式问题，咱们一步步把这个中国剩余定理的求解过程补完，你已经完成了最关键的前期准备工作啦！

已知同余方程组对应的参数：$a_1=1$，$a_2=4$，$a_3=6$；$m_1=3$，$m_2=5$，$m_3=7$，你已经算出：

$m = m_1 \times m_2 \times m_3 = 3 \times 5 \times 7 = 105$
$M_1 = m/m_1 = 35$，$M_2 = m/m_2 =21$，$M_3 = m/m_3=15$（这里提个小细节：通常咱们会用$M_i$表示$m/m_i$，避免和原模数$m_i$混淆哦）

接下来的核心是求解每个$M_i$在模$m_i$下的逆元$x_i$，也就是满足$M_i x_i \equiv 1 \pmod{m_i}$的整数$x_i$，然后代入公式得到最终解。

步骤1：求解$x_1$，满足$35x_1 \equiv 1 \pmod{3}$

先简化$35$模$3$的结果：$35 = 11 \times 3 + 2$，所以$35 \equiv 2 \pmod{3}$，原式子变为：
$$2x_1 \equiv 1 \pmod{3}$$
找整数$x_1$使得$2x_1$除以3余1，很容易看出$x_1=2$，因为$2 \times 2 =4 \equiv1 \pmod{3}$。

步骤2：求解$x_2$，满足$21x_2 \equiv1 \pmod{5}$

简化$21$模$5$的结果：$21=4\times5+1$，所以$21\equiv1 \pmod{5}$，原式子变为：
$$1\times x_2 \equiv1 \pmod{5}$$
直接得出$x_2=1$。

步骤3：求解$x_3$，满足$15x_3 \equiv1 \pmod{7}$

简化$15$模$7$的结果：$15=2\times7+1$，所以$15\equiv1 \pmod{7}$，原式子变为：
$$1\times x_3 \equiv1 \pmod{7}$$
直接得出$x_3=1$。

步骤4：计算最终同余解

根据中国剩余定理，方程组的解为：
$$x \equiv a_1M_1x_1 + a_2M_2x_2 + a_3M_3x_3 \pmod{m}$$
代入所有数值：
$$
\begin{align*}
x &\equiv 1\times35\times2 + 4\times21\times1 +6\times15\times1 \pmod{105} \
&\equiv 70 + 84 +90 \pmod{105} \
&\equiv 244 \pmod{105}
\end{align*}
$$
计算$244$除以$105$的余数：$105\times2=210$，$244-210=34$，所以最终解为：
$$x \equiv34 \pmod{105}$$