求证f:(0,1)→R一致连续：δ与ε选取及分式推导疑问求助

嘿，你已经推到最关键的一步啦！核心就是对分母做放缩处理，我们一步步来理清楚：

首先，先把你已经完成的推导再明确一下：

对任意$x,y∈(0,1)$，
$$|f(x)-f(y)| = \left|\frac{1}{x+4} - \frac{1}{y+4}\right| = \frac{|y-x|}{(x+4)(y+4)}$$

接下来是关键的放缩步骤：
因为$x$和$y$都在$(0,1)$区间里，所以对任意$x∈(0,1)$，都有$x+4 > 0+4=4$；同理，$y+4 > 4$。那分母的乘积就满足：
$$(x+4)(y+4) > 4 \times 4 = 16$$

把这个不等式代入到之前的推导式里，就能得到：
$$|f(x)-f(y)| < \frac{|x-y|}{16}$$

现在回到一致连续的定义：对任意给定的$\varepsilon>0$，我们需要找到一个$\delta>0$，使得只要$|x-y|<\delta$，就有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。

根据上面的放缩结果，我们只需要让$\frac{|x-y|}{16} < \varepsilon$，解这个不等式就能得到$|x-y| < 16\varepsilon$。所以我们直接选取$\delta = 16\varepsilon$就可以（其实只要$\delta \leq 16\varepsilon$都满足要求，选等于的情况最直观）。

最后验证一下：当$|x-y| < \delta = 16\varepsilon$时，
$$|f(x)-f(y)| < \frac{|x-y|}{16} < \frac{16\varepsilon}{16} = \varepsilon$$
完全符合一致连续的定义。

额外补充个小知识点：其实因为$f(x)=\frac{1}{x+4}$在闭区间$[0,1]$上是连续的，而闭区间上连续的函数必然一致连续，所以$f(x)$在$(0,1)$这个子区间上自然也一致连续。不过既然你要的是$\varepsilon$-$\delta$的构造方法，那上面的放缩就是最直接的思路啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Feast