求解无自变量微分方程的符号困惑：两种分离形式结果不同

你遇到的困惑其实是没意识到这两种分离变量的形式本质完全等价，只是常数的表达形式不同而已，我们一步步拆解来看：

首先回顾换元后的方程：
yp\frac{dp}{dy} + p^2 - 1 = 0
移项后得到核心等式：yp\frac{dp}{dy} = 1 - p^2

第一种分离变量形式：\frac{p dp}{p^2-1} = -\frac{dy}{y} #

对两边积分：

• 左边积分：令u = p^2 - 1，则du = 2p dp，代入得∫\frac{p dp}{p^2-1} = \frac{1}{2}∫\frac{du}{u} = \frac{1}{2}ln|p^2 - 1| + C_1
• 右边积分：∫-\frac{dy}{y} = -ln|y| + C_2

合并常数项并两边乘2：
ln|p^2 - 1| = -2ln|y| + C（这里C = 2(C_2 - C_1)是任意常数）
整理后得到：
ln|y^2(p^2 - 1)| = C → y^2(p^2 - 1) = K（K = e^C是任意非零常数，后续可扩展到零）

第二种分离变量形式：\frac{p dp}{1-p^2} = \frac{dy}{y} #

你觉得无法完成积分，大概率是左边积分的符号处理出了疏漏，我们重新计算：

• 左边积分：令u = 1 - p^2，则du = -2p dp，代入得∫\frac{p dp}{1-p^2} = -\frac{1}{2}∫\frac{du}{u} = -\frac{1}{2}ln|1 - p^2| + C_1
• 右边积分：∫\frac{dy}{y} = ln|y| + C_2

合并常数项并两边乘-2：
ln|1 - p^2| = -2ln|y| + C'（C' = -2(C_2 - C_1)同样是任意常数）
整理后得到：
ln|y^2(1 - p^2)| = C' → y^2(1 - p^2) = K'（K' = e^{C'}是任意非零常数）

两种结果的等价性 #

对比两个最终表达式：

• 第一种：y^2(p^2 - 1) = K
• 第二种：y^2(1 - p^2) = K'

显然K' = -K，而K和K'都是任意常数（可正、可负、可为零），所以这两个式子完全等价，只是常数的符号不同而已。后续代入p = y'后，最终的通解形式是完全一致的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fiksx